<<
>>

Методы и модели управления товарными запасами в маркетинге

Классическая задача управления запасами. Задачей управления запасами называется оптимизационная задача, в которой предполагаются известными данные о поставках товара на склад, спросе на товар, издержках и условиях хранения товарных запасов.

Требуется оптимизировать работу склада по заданному критерию оптимизации.

Рассмотрим эту задачу в так называемой классической постановке. Выберем за единичный интервал времени один день. Пусть к концу дня t- 1 на складе находится запас в объеме xt-1 gt; 0. Склад делает заказ на пополнение запаса товара в объеме ht. Это пополнение поступает к началу следующего дня t, так что запас товара в начале следующего дня составляет х + ht. Пусть St - объем товара, запрашиваемый потребителем (или потребителями) в день t (объем заявки).

Если St lt; xt-1 + ht, то склад удовлетворяет заявку потребителя полностью, а остатки товара х = xt-1 + + ht - St) переносятся на следующий день (t + 1), причем издержки хранения этого запаса пропорциональны его объему, т.е. С ¦ xt = С (xt-1 + ht - St).

Если объем заявки St gt; xt-1 + ht, то склад полностью отдает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери (например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объему дефицита, т.е. k (St - xt-1 - - ht) = - k (xt-1 + ht- St).

Таким образом, полные издержки cp(xt-1, ht, St) склада можно записать в виде:

*.(лсмgt; Лр Si) = max {if (Хц + А, - Sf); ” к (*г.| + А, - S,)\\.              (25.50)

При этом остаток товара таков:

jfT = max {О; *ї-! + ht — 5^.

Из уравнения (25.50) следует: если х»\\ gt; 0, то cp(xt) = с • хt; если xt lt; 0, то cp(xt) = -к • xt; если xt = 0, то cp(xt) = 0.

В классической постановке задачи управления запасами предполагается, что сама величина спроса St неизвестна, однако она является независимой случайной величиной, имеющей заданный закон распределения.

Пусть распределение вероятностей величины St задается непрерывной функцией распределения F(x) с плотностью распределения fx). Тогда средние полные издержки Ф (xt-1 + ht) задаются следующей формулой (М - математическое ожидание):

Ф + к() = АМ*м, К X,) = /“

Задача ставится таким образом: определить объем заказа на пополнение ht, минимизирующий средние полные издержки, т.е.:

где ht gt; 0.

Если обозначить у = х»1 + ht, то в случае статической постановки классической задачи управления запасами уравнение для определения минимизирующего запаса у* имеет вид:

(25.52)

Решение (25.52) задачи (25.51) определяет стратегию оптимального пополнения запасов. Величина пополнения запасов h*, минимизирующая средние полные издержки, задается следующим образом:

Конкретные числовые характеристики системы управления запасами зависят от вида функции плотности распределения f(x) случайной величины спроса. В качестве примера рассмотрим случай симметричного «треугольного распределения» спроса, при котором функция плотности распределения получается в виде графика, представленного на рис 25.1А. Очевидно, что этот график получается параллельным при переносе вправо (т.е. заменой х на х - а) графика, изображенного на рис. 25.1Б, при этом функция принимает

Рис. 25.1. Функция плотности распределения в графическом виде

График функции средних полных издержек для такой функции спроса в случае к gt; с представлен на рис. 25.2, где оптимальный уровень запаса можно выразить уравнением:

Рис. 25.2. Функция средних полных издержек в графическом виде

В общем виде для данной функции плотности распределения спроса оптимальный уровень запаса задается условиями:

при С = If

   - А при С lt; К

с + к

я - Ь +

У* - -

(25.55)

при с lt; к

Значение Ф* = Ф (у) минимума средних полных издержек имеет вид:

Из формул (25.55) и (25.56) для данной модели следует, что оптимальный уровень запаса при с ф к и минимум средних полных издержек при всех с и к линейно зависят от величины Ь, т.е.

от длины интервала, в котором заключен разброс значений величины спроса на товар.

Напомним, что стратегия оптимального пополнения запасов задается формулами (25.53).

Рассмотрим пример. Пусть некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является случайной величиной, функция плотности распределения которой представлена графически на рис. 25.1А, и колеблется от 20 до 80 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.

Задаем следующие условия рассматриваемой задачи:

— 50 (хил,); С - 8 t — 17 руу.

В соответствии с формулой (25.55) оптимальный уровень запаса (с lt; к) составляет следующую величину:

Тогда величина h*t пополнения запаса холодильников, при которой средние полные издержки будут минимальны, задается в соответствии с формулой (25.53) следующими условиями:

¦              [0,              сели [****]|l| г 56

1 {56 -              ,млн ^ 56 .

где xt-1 - запас холодильников на складе фирмы на конец предыдущего дня.

Так, если на конец предыдущего дня на складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас не следует, а если на конец предыдущего дня на складе оставалось 25 холодильников, то следует реализовать заказ на пополнение запаса холодильников таким образом: 56 - 25 = 31.

Если придерживаться этой стратегии пополнения запаса, то минимальный уровень средних полных издержек в расчете на один день в соответствии с формулой (25.56) составит:

Принципиальные системы регулирования товарных запасов.

Рассмотренная в предыдущем параграфе классическая задача управления запасами иллюстрирует общий теоретический подход к задаче регулирования запасов.

В практической деятельности организации и служб маркетинга используются более простые принципиальные системы регулирования товарных запасов, основанные на различных стратегиях пополнения запасов, т.е. на определенных правилах этого пополнения, выраженных в достаточно общей форме. Параметрами их являются величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания уровня запасов, размеры заказа на пополнение запасов, его периодичность и др. Системы различаются между собой в зависимости от того, какие из параметров выбраны в качестве регулирующих. Принципиальные системы регулирования запасов, используемые в практике маркетинга, подробно описаны во многих учебниках и пособиях*. Поэтому дадим лишь краткий обзор этих систем.

удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором - для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара (во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа).

При системе с фиксированной периодичностью заказа заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и исходя из этого определяется размер заказываемой партии, при этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимальный. Таким образом, регулирующими параметрами этой системы являются: максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение; продолжительность периода повторения заказов. Такую систему эффективно использовать, когда имеется возможность изменять объем заказа, а затраты на оформление любого заказа невелики. Одним из ее достоинств можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков. К недостаткам относится то, что не исключается возможность нехватки товарных запасов.

В системе с двумя фиксированными уровнями запасов и с фиксированной периодичностью заказа установлены верхний и нижний пределы допустимого уровня запасов.

Помимо максимального верхнего уровня устанавливается нижний (точка заказа). Если размер запаса снижается до нижнего уровня еще до наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как предыдущая система. В настоящей системе имеются три регулирующих параметра: максимальный уровень запаса; нижний уровень запаса (точка заказа); длительность периода между заказами. Первые два параметра постоянны, а третий может быть переменным. Рассматриваемая система является более сложной по сравнению с предыдущей, однако она позволяет исключить нехватку товарного запаса. Недостатком является то, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Систему с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной периодичности заказа называют также (S - 5)-системой (стратегией), или системой «максимум - минимум». Она устраняет недостаток предыдущей системы и является ее модификацией. В ней два регулирующих параметра: нижний (критический) уровень запаса s, а также верхний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов для принятия решения об их пополнении, через р - величину пополнения, а через у = х + р - величину запасов после пополнения, то (S - s)-стратегия управления запасами задается условиями:

Таким образом, пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов больше критического (s); если же имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что р = S - х.

Рассмотрим типовую задачу. Пусть при пополнении запасов автомобилей на складе служба маркетинга магазина «Автомобили» придерживается (S - s)- стратегии при s = 50 и S = 300. Требуется определить, на какое количество автомобилей надо оформить заказ, если в момент принятия решения о заказе на складе имеется следующее количество автомобилей: а) 40, б) 70, в) 150, г) 10, д) 290.

Временем доставки заказанных автомобилей можно пренебречь. В соответствии с формулой (25.57) величина р в каждом из рассматриваемых случаев будет равна следующему количеству автомобилей: а) 260, б) 0, в) 0, г) 290, д) 0, т.е. в случаях б, в, и д заказ на пополнение запаса автомобилей не оформляется.

Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий функционирования этих систем. На практике такое постоянство редко имеет место, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям), т.е. с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные) условия. В каждой такой системе устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами.

Одним из элементов целевой функции при построении саморегулирующихся систем являются затраты по организации заказа и его реализации, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с организацией заказов, зависит не от их размера, а от годового объема деятельности предприятия (фирмы). Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от заказанной партии, причем в расчете на единицу товара они уменьшаются при увеличении размера партии.

Другим элементом целевой функции являются затраты на хранение запаса. Часть издержек хранения носит постоянный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая же находится в прямой зависимости от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.) При расчетах на основе экономикоматематических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной издержкам на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагается, что издержки хранения за календарный период пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количеству заказов за этот период.

Наконец, третьим элементом рассматриваемой целевой функции являются потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за неудовлетворение желаний потребителей из-за отсутствия запасов. Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может понести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность дефицита - это ожидаемая относительная частота появления случаев нехватки товарной продукции в течение более или менее продолжительного интервала времени. Как правило, вероятность дефицита определяется как частное от деления числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней (например, в году).

Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий. Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товарные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима: заказана партия одного объема, а прибыла партия другого; по плану партия должна прибыть через две недели, а она пришла через десять дней; при норме разгрузки одни сутки разгрузка партии длилась трое и т.д. Учесть все эти отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада обычно делаются следующие предположения.

  1. Скорость расходования запасов со склада является постоянной величиной, которую обозначим через М (единиц товарных запасов в единицу времени). В соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой.
  2. Объем партии пополнения (Q) есть постоянная величина, так что система управления запасами является системой с фиксированным размером заказа.
  3. Время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю.
  4. Время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина (Af). Если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на At ранее.
  5. На складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнекие равенства: Q = М ¦ Т. Из сказанного выше следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Т и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s.
  6. Наконец, будем считать обязательным выполнение требования о недопустимости отсутствия запасов на складе, т.е. выполнение неравенства s gt; 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0, а следовательно, S - Q.

Окончательно график идеальной работы склада в форме зависимости величины запасов у от времени t будет иметь вид, представленный на рис. 25.3.

График идеальной работы склада

Рис. 25.3. График идеальной работы склада

Эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объема партии, называют накладными:              почтово-телеграфные,              командировочные,              некоторая              часть

транспортных и др. Накладные расходы обозначим через К Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени называется величиной удельных издержек хранения; обозначим их через h.

При изменяющейся величине хранящихся запасов издержки хранения за некоторое время Тполучают путем умножения величины h на Ти на среднее значение величины запасов в течение этого времени Т Таким образом, затраты склада за время Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада, представленного на рис. 25.3, можно выразить следующим равенством:

Zr(Q) = * + Ь-Г\'у.

После деления этой функции на постоянную величину Т с учетом равенства Q = М ¦ Т получим выражение для величины затрат на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени:

Q

2

(25-58)

\'А(О)

= Zr(Q) e А_ Q ш К М +

Это и будет целевой функцией, минимизация которой позволит указать оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии (Q), при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция Z\\(Q). На практике величины Q часто принимают дискретные значения, например из- за использования транспортных средств определенной грузоподъемности; в этом случае оптимальное значение (Q^r.) находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограничений на принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум функции Z1(Q) можно решить методами дифференциального исчисления:

Отсюда можно найти точку минимума Q°пт.:

Эта формула называется формулой Уилсона (по имени английского ученого-экономиста), который вывел ее в 20-х гг. нашего столетия.

Оптимальный размер партии, рассчитываемый по формуле Уилсона, обладает характеристическим свойством: размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержки хранения за время цикла Т равны накладным расходам К.

2K ¦ M

\' h

Q = .

Действительно, если

то издержки хранения за цикл таковы:

- К

И наоборот, издержки хранения за цикл равны накладным расходам в соответствии с уравнением:

В данном случае размер партии определяется так:

Проиллюстрируем характеристическое свойство оптимального размера партии графически (рис. 25.4.)

рафическое изображение оптимального размера партии

Рис. 25.4. Графическое изображение оптимального размера партии

Из графиков видно, что минимальное значение функции Z(Q) достигается при том значении Q,, при котором равны значения двух других функций, ее составляющих.

Используя формулу Уилсона (25.59) с учетом сделанных ранее предположений об идеальной работе склада, можно получить ряд расчетных характеристик работы склада в оптимальном режиме. Так, оптимальный средний уровень запаса можно выразить уравнением:

Оптимальная периодичность пополнения запасов рассчитывается следующим образом:

п =

У опт -у

(25.60)

lt;25.6!)

7 _ Яш. ¦ XJL- ^ и \\М h

Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени можно рассчитывать так:

Рассмотрим типовую задачу. На склад доставляется на барже цемент партиями по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 2 тыс. руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток равны 0,1 руб. Требуется определить: длительность цикла и среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения;

эти же величины для размеров партии в 500 т и в 3000 т;

оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики

работы склада в оптимальном режиме.

Решение:

Параметры работы склада: М = 50 т/ сут.; К = 2 тыс. руб.;

h = 0,1 руб./т • сут.; Q = 1500 т.

  1. Длительность цикла:

1500т

30 сут.;

Т= X.

М 50т / сут.

среднесуточные накладные расходы:

К _ 2тыс./руб.

среднесрочные издержки хранения:

А ¦ у = ОД руб. Н              =              75              рі^./сут.

  1. Аналогичные расчеты проведем для Q = 500 т.

^ _ Q _              1500т

lt;\\              77              «л              1              Т""—“ 10 сут.;

М 50т / сут.

А ^ = 0,1 руб.,

- 2Шруб./сут.;

К _ 2 тыс. руб. Гі (Осут.

руб./г ¦ суг.\'^уі = 25 руб./сут-

Проведем расчеты и для Q = 3000 т:

г _ 02 _              3000т              „

*г              Т,Г               "              60              ;

М 50т / сут.

: ЗЗруб./сут

К _ 2 тыс. руб.

60 сут.

А ¦              =              о              j              руб./т              ¦              сут.\' = 150 руб./сут.

z              2

  1. Найдем оптимальный размер заказываемой партии по формуле Уилсона

(25.59):

Далее определим оптимальный средний уровень запаса по формуле

(25.60):

Затем найдем оптимальную периодичность пополнения запасов по формуле (25.61):

1400т

=¦ 23 сут.

Т _ ^РГТТ

*¦ Ті 1 ГГ              .              ,

М 50 г / сут.

И, наконец, рассчитаем оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени по формуле (25.62):

И\\ = Сспг ¦¦ Й = 700 т\' 0,1 руб. А ¦ сут. = 70 руб./суг.

25.5. Моделирование спроса в задачах маркетинга

В условиях нового экономического уклада в основу принятия хозяйственных решений ложится рыночная информация, а обоснованность решений проверяется также рынком в ходе реализации товаров и услуг. Таким образом, начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы математического моделирования спроса в маркетинге.

Уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления U= U (Y) где вектор переменных Ygt; 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Свойства этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнения U (Y) = С, где С - параметр уровня целевой функции потребления (в качестве С может выступать, например, доход).

В пространстве потребительских благ уравнению U (Y) = С соответствует поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. В частности, если взять две группы товаров, например продукты питания (у) и непродовольственные товары и услуги (у.), то уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям величины С. Вид таких кривых представлен на рис. 25.5, где С1 lt; С2 lt; С3. Термин «кривые безразличия» часто используется вне зависимости от размерности пространства потребительских благ и от количества групп товаров и услуг.

При моделировании поведения потребителей исходят из того, что при имеющемся доходе и установленных ценах потребители стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров спрос потребителей выражается вектором Y = (у1, у, ..., уп) а цены представлены вектором Р = (р\\, р, ..., рп). При величине дохода Z потребители могут выбирать только такие комбинации товаров,

Т^РгУг lt; Z

которые удовлетворяют бюджетному ограничению              г=1              .              Тогда

простейшая модель поведения потребителей в векторной форме будет иметь

вид: 1 э. .

Геометрическая интерпретация модели (25.63) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис. 25.5. Линия АВ для Z = C1 соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией. Выбор потребителей при данном уровне дохода ограничен треугольником А0В. Набор товаров M1, соответствующий точке касания прямой АВ наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением.

Задача (25.63) в общем случае является задачей нелинейного программирования, с которой связана так называемая функция Лагранжа:

L(YA) = U(Y) + A(Z-P ¦ У),

где множитель Лагранжа Л является оптимальной оценкой дохода. Если

иг = du Y)

обозначить частные производные функции U (У) через U:              (ddi              , то эти

производные можно интерпретировать как предельные полезности соответствующих потребительских благ, т.е. они характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования і-го товара на некоторую условную «малую единицу».

Из теории математического программирования известно, что необходимыми условиями того, что вектор У0 будет оптимальным решением задачи (25.63), являются условия Куна - Таккера:

при этом Ui (У0) = Л0 • рц если уР gt; 0, т.е. товар приобретается, и U (У0) lt; Л0 • р,ц если уР gt;0, т.е. товар не приобретается.

Из условий оптимальности (25.64) следует, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров:

иф- = Ю.

п

если

Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями покупательского спроса (функциями спроса) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от влияющих на него факторов. Рассмотрим их построение в зависимости от двух факторов: дохода и цен. Будем в модели (25.63) цены и доход рассматривать как меняющиеся параметры. Тогда решением оптимизационной задачи (25.63) станет векторная функция Y0 = Y°(P, Z), компонентами которой являются на определенный товар от цен и дохода:

yPf(P,Z).

Л

Модель поведения потребителей в графическом виде

Рис. 25.5. Модель поведения потребителей в графическом виде

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух групп товаров этот случай представлен на рис. 25.5. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у, которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), а по оси ординат - количество товара у. той же стоимости (точка А) то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия.

С

Уі

Точками оптимума потребительского спроса для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки M, M2, M3. При нулевом доходе спрос на оба товара будет нулевым. Кривая, соединяющая точки 0, М1, M2, M3, является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.

Рассмотрим процесс аналитического построения функций спроса от дохода на основе модели (25.63) на условном примере. Пусть для двух

3

u(Y) = У: • У

товаров целевая функция потребления имеет вид              2              вектор              цен              Р

= (3; 6); величина дохода равна Z.

U,- dUdY - У-3, U- - ^ - 3УУ-,

Так как в данном случае              У              У2              D              =              Z,              то

необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений (Л - множитель Лагранжа):

После подстановки первого уравнения во второе получим 3yy2. Выразив из третьего уравнения 3у, и подставив в последнее равенство, будем иметь (Z - 6y)y2 = 2y23, откуда можно получить, что y2 = 1/8Z. Подставив этот результат в третье уравнение, получим у = 1/12Z. Таким образом, для данного примера функций спроса на товары у и у от дохода Z имеют вид:

У = 1/12Z; у = 1/8Z

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые у = A (Z) называются кривыми Энгеля (по имени изучавшего их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет спрос на одежду, фрукты и т.д. Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 25.6 А.

Если по мере роста доходов спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля выпукла (рис. 25.6 Б). Так изменяется спрос на предметы роскоши.

Если рост значений спроса по мере его насыщения отстает от роста дохода, начиная с определенного момента, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 25.6 В). Например, таков характер спроса на товары первой необходимости.

У

 Изменение спроса на товар по мере роста доходов

Рис. 25.6. Изменение спроса на товар по мере роста доходов

Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функций спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши

(рис. 25.7).

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид:

Она отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел а1 (кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии у = а); график функции на рис. 25.7 является вогнутой кривой (I).

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой:

Функция также имеет предел а но более высокого уровня, при этом спрос на данную группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины bi, график функции на рис. 25.7 - вогнутая кривая (II).

Функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину Ы, и далее быстро возрастает, так что график функции на рис. 25.7 является выпуклой кривой (III).

Кроме указанных функций в аналитических моделях покупательского спроса используются другие функции: степенные, S-образные и т.д.

, где ? gt; ІУ}.

Z + Cr

*              .в              Г"

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид:

Графики функций Торнквиста

Рис. 25.7. Графики функций Торнквиста

Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих неизменяющихся факторах). Он вычисляется по формуле:

где Ez - коэффициент эластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z;

у - спрос на этот товар, являюющийся функцией дохода; у = fi (Z). Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула (25.65) дает следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода:

Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода на 1%.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны для разных товаров, они могут быть и отрицательны, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода: малоценные товары (ЕД lt; 0); товары с малой эластичностью (0 lt; ЕД lt; 1); товары со средней эластичностью (EZ близки к единице); товары с высокой эластичностью (EiZ gt; 1).

К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб, низкосортные товары. Судя по результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0,4 до 0,8, для одежды, тканей, обуви - в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (25.63) следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), однако построить функцию общего вида, выраженную как у, = ф(Р), очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: у, = ф (Р).

Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны различные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах маркетинга важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II на рис. 25.6), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход от точки А к точке Б по одной и той же кривой I на рис. 25.8).

Уі *

Зависимость спроса на товары от уровня цен

Рис. 25.8. Зависимость спроса на товары от уровня цен

Как уже отмечалось, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров, характеризует коэффициент эластичности спроса от цен, который удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса у, на і-й товар относительно его собственной цены р

коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

(25.66)

И dpt

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно отличаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

товары с неэластичным спросом в отношении цены (Еи больше - 1);

товары со средней эластичностью спроса от цены (Еи близко к - 1);

товары с высокой эластичностью спроса (Еи меньше - 1).

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1%, и наоборот, такое же понижение цены приводит к росту покупок больше чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой такое же понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что это товар неэластичного спроса.

Рассмотрим, как влияет на спрос на какой-либо товар изменение цен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится спрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, что другие цены и доходы покупателей остаются прежними, называется перекрестным коэффициентом эластичности. Для спроса у на i-й товар относительно цены p на j-й товар (і Ф j) перекрестный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если Ej gt; 0, это означает, что і-й товар заменяет в потреблении товар j т.е. на товар і спрос переключается при увеличении цены на товар /\'.Примером взаимозаменяемых товаров могут служить многие продукты питания.

Если Ej lt; 0, это служит признаком того что і-и товар в процессе потребления дополняет товар j, т.е. увеличение цены на товар j приводит к уменьшению спроса на товар і. В качестве примера можно привести такие вазаимодополняемые товары, как автомобили и бензин.

В качестве иллюстрации в табл. 25.6 приведены значения прямых и перекрестных коэффициентов эластичности потребления от цен для некоторой категории семей. На основании этих данных по значениям прямых коэффициентов эластичности (по диагонали таблицы) можно сделать вывод: продукты питания в целом являются малоэластичными по отношению к цене; одежда, ткани и обувь имеют среднюю эластичность; две последние группы товаров являются товарами с высокой эластичностью спроса по

Таблица 25.6

Группы товаров Продукты

питания

Одежда, ткани, обувь Мебель,

хозтовары

Культтовары
Продукты -0,7296 0,0012 0,0043 0,0045
питания Одежда, -0,1991 -1,000 0,0071 0,0074
ткани,обувь -0,2458 0,0024 -1,2368 0,0092
Мебель, хозтовары Культтовары -0,2494 0,0024 0,0089 -1,2542

Прямые и перекрестные коэффициенты эластичности

На основании недиагональных элементов этой таблицы все промышленные товары (вторая, третья и четвертая группы) являются взаимозаменяемыми товарами. Положительность перекрестных коэффициентов эластичности по строке «Продукты питания» означает, что повышение цен на промышленные товары увеличивает спрос на продукты питания (уменьшение спроса на промышленные товары освободит средства для продуктов питания). Отрицательность перекрестных коэффициентов эластичности по столбцу (графе) «Продукты питания» означает, что при росте цен на продукты питания спрос на промышленные товары сокращается, поскольку это повышение уменьшает количество денежных средств, которые потребители выделяют на приобретение других товаров.

Моделирование и прогнозирование покупательского спроса. Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг, поэтому учет спроса и обоснованное прогнозирование его на краткосрочную и долгосрочную перспективу являются важнейшими задачами службы маркетинга в различных организациях и фирмах.

Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависит от многих факторов - как экономических, так и естественных. К экономическим факторам относятся уровень производства (предложения) товаров и услуг (обозначим этот фактор в общем виде П), уровень денежных доходов отдельных групп населения (D), уровень и соотношение цен (Р). К естественным факторам относятся демографический состав населения, в первую очередь размер и состав семьи (S), а также привычки и традиции, уровень культуры, природноклиматические условия и т.д.

Экономические факторы очень мобильны, особенно распределение населения по уровню денежных доходов, естественные же меняются сравнительно медленно и в течение небольшого периода (от года до пяти лет) не оказывают заметного влияния на спрос. Исключение составляет демографический состав населения. Поэтому в текущих и перспективных прогнозах спроса все естественные факторы, кроме демографических,

целесообразно учитывать обобщенно, введя фактор времени (t).

Таким образом, в общем виде спрос определяется в виде функции перечисленных выше факторов:

7 = ПЛРЛ )              (25.68)

Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фактор дохода (есть даже выражение: «Спрос всегда платежеспособен»), многие расчеты спроса и потребления осуществляются в виде функции от душевого денежного дохода:

у = f(D).

Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на небольшой период времени связан с использованием так называемых структурных моделей спроса. При построении этих моделей исходят из того, что для каждой экономической группы населения по статистическим бюджетным данным может быть рассчитана присущая ей экономическая структура потребления. Однако предполагается, что на изучаемом отрезке времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а цены, размер семьи и прочие факторы принимаются неизменными.

Изменение дохода, например его рост, можно рассматривать как перемещение определенного количества семей из низших доходных групп в высшие. Другими словами, изменяются частоты в различных интервалах дохода: они уменьшаются в нижних и увеличиваются в верхних интервалах. При этом семьи, которые попадают в новый интервал, будут иметь ту же структуру потребления и спроса, какая сложилась у семей с таким же доходом к настоящему времени.

Таким образом, структурные модели рассматривают спрос как функцию только распределения потребителей по уровню дохода. Имея данные о соответствующих структурах спроса, рассчитанных по данным статистики бюджетов, и о частотах распределения потребителей по уровню дохода, можно рассчитать общую структуру спроса. Если обозначить структуру спроса в группе семей со средним доходом Di через co(Di), а частоты семей с доходом Di через r (Di), то общая структура спроса R может быть рассчитана по формуле:

где п -количество интервалов доходов семей.

Структурные модели спроса являются одним из основных видов экономико-математических моделей планирования и прогнозирования спроса и потребления. В частности, широко распространены так называемые компаративные (т.е. сравнительные) структурные модели, в которых сопоставляются структуры спроса исследуемого объекта и некоторого аналогового объекта. Аналогом обычно считается регион или группа населения с оптимальными потребительскими характеристиками.

Наряду со структурными моделями в планировании и прогнозировании спроса используются конструктивные модели спроса. В основе их лежат уравнения бюджета населения, т.е. такие уравнения, которые выражают очевидное равенство общего денежного расхода (другими словами, объема потребления) и суммы произведений количества каждого потребленного товара на его цену. Если Z- объем потребления, т -количество разных видов благ, qi - размер потребления і-го блага, pi - цена і-го блага, то конструктивная модель спроса может быть записана следующим образом:

Вышеописанные модели, называемые также моделями бюджетов потребителей, играют важную роль в планировании потребления. К ним относятся всем известный прожиточный минимум, рациональные бюджеты, основанные на научных нормах потребления, прежде всего продуктов питания, перспективные бюджеты (например, так называемый бюджет достатка) и другие.

В практике планирования и прогнозирования спроса достаточно часто применяются аналитические модели спроса и потребления, которые строятся в виде уравнений, характеризующих зависимость потребления товаров и услуг от тех или иных факторов. Другими словами, в аналитических моделях функциональная зависимость (25.68) принимает вполне определенный вид. Такие модели могут быть однофакторными и многофакторными. Рассмотрим аналитические модели спроса на примере линейных корреляционнорегрессионных статических моделей, используя конкретные данные обследования семей.

В табл. 25.7 представлены статистические данные о расходах на питание, душевом доходе и размере семьи для девяти групп семей.

Таблица 25.7

Статистические данные о расходах на семью

№ группы Расход на питание

(у)

Душевой доход (xi) Размер семей (х)
1 433 628 1,5
2 616 1577 2,1
3 900 2659 2,7
4 1113 3701 3,2
5 1305 4796 3,4
6 1488 5926 3,6
7 1645 7281 3,7

8 1914 9350 4,0
9 2411 18807 3,7

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х1). Она выражается линейной функцией следующего вида:

У = Чо *              .              (25.71)

Параметры а и а1 можно найти, решив систему нормальных уравнений, которая, в свою очередь, формируется с применением метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

где суммирование проводится по всем n группам. Используя данные табл. 25.7, получим систему уравнений:

[9й0 + 54725ц, - 11825

|54 725tf0 + 5 40 789 321 я, = 98049159,

решением которой являются значения а = 549,68 и а1 = 0,1257.

(25.73)

Таким образом, модель имеет вид;

у = 549,68 + OJ257*t.

Уравнение (25.73) называется уравнением регрессии, коэффициент а1 называется коэффициентом регрессии. Направление связи между у и л определяет знак коэффициента регрессии а1 (в нашем случае данная связь является прямой). Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции:

где Sy есть средняя квадратическая ошибка выборки у в табл. 25.7. Она находится по формуле:

S $

где У - средняя арифметическая значений у а $ - средняя квадратическая ошибка нашего уравнения (25.73). Последняя определяется следующим образом:

Ixfr-y)\'

If н-2

где $ есть соответствующее значение, вычисленное по модели (25.73). В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее

S$

корреляционная связь. В нашем примере Sy = 454 070,              ^              =              63              846,

следовательно:

L 63S4fT V 454070

= а,927.

Полученное значение $ свидетельствует, что связь между расходами на

питание и душевым доходом очень тесная. Величина ^ называется коэффициентам детерминации и показывают долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем

случае ^ = 0,859; это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

(25-75)

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х) и размера семей (хі). Множественный (многофакторный) корреляционно-регрессивный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид:

y =              і*,              -+вгхг.

Параметры модели а, а1 и а находятся путем решения системы нормальных уравнений:

naQ + (2*і)о|

(25,76)

(2аК+(Х

Используя данные табл. 25.7, получим систему нормальных уравнений в

таком виде:

9^ + 54725^ + 27,9a, *=1)825

5472So0 + 540789321a, + 19434 ІДа3 - 98049159

27,^ + L9434)J8«| + 92,lfl3 ^40391,7

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим: ао = 18,63; а1 = 0,0985; аі = 224,6, так что модель (25.75) имеет вид:

у ~ 18,61 + 0,0985*! + 224,6*1

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные

ТУТ

коэффициенты корреляции -™1’ Vl\'2’              .              Например:

(25.77)

г -Шит ^ ¦ v**, ’

где черта над символами означает среднюю арифметическую, a Sy и Sxi - средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. 27.7. Их можно вычислить следующим образом:

ТТ

Аналогичный вид имеют формулы для xy2 и После этого вычисляется коэффициент множественной корреляции:

Данный коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере расчеты дают следующие значения коэффициента

R$

множественной корреляции:              ^ = 0,983, что выше значения коэффициента

корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом, связь расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

R$

Величина Y*1*2 называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием

= 0,966; это

изучаемых факторных признаков. В нашем примере означает, что совместное влияние yXlX2 = 0,966; это означает, что совместное влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х при неизменном значении факторного признака х\\ рассчитывается по формуле:

(25.79)

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (25.77). Аналогичная формула имеет место для

частного коэффициента корреляции TrXi( X2) между результативным признаком у и факторным признаком Х2 при неизменном значении факторного признака

х1.

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют:

r„( х2) = 0,927; r№(y) = 0,849.

Это означает, что теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого весьма велика.

ryX (x) = 0,859, r2

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашей задаче

= 0,721

Ух1( x2)

Ух2 ( x1)

следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (25.75) считываются по формулам:

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую величину. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере а = 0,0985; а = 224,6; y = 1313,9; Xl = 6080,6;

2 =

х.

= 3,1, следовательно, по формулам (25.80) получим:

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,456%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменяем душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0,530 %.

<< | >>
Источник: Н.Д. Эриашвили, К. Ховард, Ю.А. Цыпкин и др.. Маркетинг: Учебник для вузов / Н.Д. Эриашвили, К. Ховард, Ю.А. Цыпкин и др.; Под ред. М26 Н.Д. Эриашвили. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,2001. - 623с.. 2001

Еще по теме Методы и модели управления товарными запасами в маркетинге:

  1. 5.3. Прогнозирование комплекса маркетинговых исследований: спроса, цен, издержек, симулирования спроса, финансовых результатов и инновационной деятельностью
  2. ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ
  3. Практикум по дисциплине
  4. Вступительная статья
  5. Библиография и комментарии
  6. ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ
  7. Практикум по дисциплине
  8. Глава II. Этапы эволюции маркетинга
  9. Глава III. Концептуальные аспекты удовлетворения и развития потребностей в системе маркетинга
  10. ГЛОССАРИЙ
  11. Основные направления исследований в маркетинге
  12. Принципы организации изучения конъюнктуры рынка в системе маркетинга
  13. Потребитель в системе маркетинга
- Авторское право - Аграрное право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -