Среднее ожидаемое значение

Частота (вероятность) возникновения некоторого уровня потерь определяется по формуле:

Fn = m / n,

где: Fn - частота возникновения некоторого уровня потерь; m - число случаев наступления конкретного уровня потерь; n - общее число случаев в статистической выборке.

Среднее ожидаемое значение находят по формуле:

х = ? хF

где: xi - i-й возможный результат;

F; - вероятность того, что этот i-й результат будет иметь место.

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Дисперсия (G2) представляет собой среднее взвешенное из квадратов отклонений действительных результатов от средних ожидаемых и рассчитывается по формуле:

Z (х - х)2

G2 =

n

Среднее квадратичное отклонение (G), иногда называемое стандартным отклонением, определяется по формуле, также известной из общей теории статистики:

G = VZ(х - х)/n .

который средней

В завершение анализа используется коэффициент вариации (V), представляет собой отношение среднего квадратичного отклонения к арифметической и показывает степень отклонения полученных значений:

G

V = —х 100. х

Анализ целесообразности затрат ориентирован на идентификацию потенциальных зон риска с учетом показателей экономической устойчивости фирмы.

Метод экспертных оценок обычно реализуется путем сбора и изучения мнений опытных предпринимателей и специалистов.

Следует упомянуть и о своеобразной комбинации экспертного и статистического методов - корреляции, т.е. установлении связи между признаками, состоящей в изменении средней величины одного из них в зависимости от изменения значения другого.

Считается, что построение кривой риска аналитическим способом наиболее сложно, поскольку лежащие в основе его элементы теории игр доступны только специалистам. Кроме того, известны два подвида аналитического метода: анализ чувствительности модели и анализ величины относительных рисков.

Рассмотрим проблему варианта инвестирования с учетом фактора риска на конкретном примере. Предположим, что некоторая компания должна инвестировать 100 тыс. долл. сроком на один год, и при этом реально существуют четыре варианта инвестирования (табл. 2.5).

Таблица 2.5. Варианты инвестирования\r\n1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант\r\nВекселя

Казначейства

США,

выпускаемые сроком на 1 год, по истечении этого Облигации корпорации с 9%- ным доходом и сроком займа 10 лет (при этом предполагается, 1 проект предполагает чистые издержки в размере 100 тыс. долл., нулевые поступления в Стоимость проекта 2 равна 100 тыс. долл. Доход также будет получен в конце года, но его размер отличается\r\n

времени векселя будут выкуплены, что гарантируется государством. Доход - 8%

что наша компания продаст облигации в конце первого года). Норма дохода по облигациям будет зависеть от состояния экономики в конце года. Сильная экономика приведет к росту ставки процента, что уменьшит рыночную стоимость облигаций и доход по ним; при слабой экономике курс возрастет.

течение года и

получение дохода

в конце года,

который будет

зависеть от состояния экономики.

от дохода,

ожидаемого по первому проекту.

Поскольку важно учесть прогнозируемые размеры дохода при всех возможных состояниях экономики, по каждому из четырех альтернативных вариантов инвестирования делается расчет ожидаемого дохода.

Оценка ожидаемого дохода по четырем альтернативным проектам представлена в таблице:

Таблица 2.6. Оценка ожидаемого дохода \r\nСостояние экономики Вероятность Векселя Облигация Проект 1 Проект 2\r\nГлубокий спад 0,05 8,0 12,0 -3,0 -2,0\r\nНебольшой 0,20 8,0 11,0 7,0 8,0\r\nспад \r\nСредний рост 0,50 8,0 9,0 11,0 14,0\r\nНебольшой 0,20 8,0 8,5 14,0 16,0\r\nподъем \r\nМощный 0,05/ 1,0 8,0 8,0 21,0 26,0\r\nподъем \r\nОжидаемая 8,0 9,4 10,6 13,0\r\nнорма дохода \r\nНорма дохода по Векселям Казначейства известна - 8% независимо от состояния экономики, то есть векселя имеют нулевой риск. Однако по трем другим группам возможного инвестирования норма дохода не может быть известна до конца года, поэтому эти группы определяются как рисковые.

Если умножить каждый возможный результат на его вероятность, а затем суммировать эти величины, то получим средневзвешенную, называемую "ожидаемой нормой дохода".

Для изменения общего риска при инвестировании используется ряд показателей из области математической статистики. Прежде всего, это показатель вариации, который измеряет дисперсию вокруг величины ожидаемой нормы дохода. Чем больше вариация, тем больше дисперсия или разбросанность по сравнению с ожидаемой нормой дохода. Вариация представляет собой сумму квадратных отклонений (девиаций) от средней величины - ожидаемой нормы дохода, взвешенных по вероятности каждой девиации. Так, по проекту 2 вариация будет равна 27,0.

Поскольку вариация измеряется в тех же единицах, что и доход, но возведенных в квадрат, то есть в процентах, возведенных в квадрат, оценить экономический смысл вариации для инвесторов представляется несколько затруднительным. Поэтому в качестве альтернативного показателя риска обычно используют показатель стандартной девиации (или среднеквадратичное отклонение), который является квадратным корнем вариации.

Стандартная девиация показывает, на сколько в среднем каждый возможный вариант отличается от средней величины.

Однако стандартная девиация характеризует абсолютную величину риска по инвестиции, что делает неудобным сравнение инвестиций с различными ожидаемыми доходами. Для сравнения удобнее использовать относительный показатель риска, который представляет собой риск на единицу ожидаемого дохода. Этот показатель получил название коэффициента вариации. Он рассчитывается как отношение стандартной девиации к ожидаемой норме дохода.

Так, для проекта 2, по которому стандартная девиация равна 5,2%, ожидаемая норма дохода - 13%, коэффициент вариации (риск на единицу ожидаемого дохода) будет равен 0,4.

Рассчитав все показатели для рассматриваемых вариантов, сведем эти данные в\r\nПоказатели Векселя Облигации Проект 1 Проект 2\r\nОжидаемая норма дохода 8,0 9,3 10,6 13,0\r\nВариация 0 1,19 19,64 27,00\r\nСтандартная девиация 0 1,09 4,43 5,20\r\nКоэффициент вариации 0 0,12 0,42 0,40\r\nТо есть определение рискованности варианта инвестирования связано с тем, каким образом производится учет фактора риска. При оценке риска по общей массе дохода, то есть абсолютного риска, который характеризуется показателем стандартной девиации, проект 2 кажется более рискованным, чем проект 1. Однако, если учитывать относительный риск, риск на единицу ожидаемого дохода (через коэффициент вариации), то более рискованным окажется все-таки проект 1.

В классическом варианте бета-анализа учитывается только вариационный систематический риск, и эта зависимость выглядит следующим образом:

R = Rf + вх (Rm -Rf),

где в - коэффициент, отражающий относительную рискованность данной акции по сравнению со среднерыночным уровнем.

зависимости от субъективной оценки рискованности, причем если рискованность вложения в акции оценивается на уровне среднерыночной для данного вида инвестиций, то в = 1. Диапазон значений в можно представить в таблице 2.7.

Таблица 2.7. Диапазон значений р\r\nСТЕПЕНЬ РИСКА р\r\nРиск отсутствует 0\r\nРиск ниже среднерыночного 0 - 1\r\nРиск на уровне среднего по рынку для данного вида вложений 1\r\nРиск выше среднерыночного 1 - 2\r\nПример. Ставка Центрального банка 100%, средняя доходность акций компании в текущем году составила 120%, вложение в акции горной корпорации оценивается как относительно рискованное, бета принята на уровне 1,5. Тогда минимальная доходность данного вида акций, при которой вложение является привлекательным, равна:

R = Rf + р х (Rm - Rf) = 100 +1,5(120 -100) = 130% .

Исходя из этой ставки, можно рассчитать и ориентировочную цену, по которой имело бы смысл покупать данную акцию.

Согласно дивидендной модели курс акции равен отношению ожидаемого годового дивиденда к процентной ставке альтернативного вложения с аналогичным уровнем риска. Предположим, дивиденд в будущем году ожидается на уровне 10 тыс.р. на одну акцию. Тогда курс составит:

Р = 10 / 1,3 = 7,69 тыс. р.

По такой рыночной цене данную акцию можно покупать, если норма реинвестирования прибыли не ниже минимально приемлемого значения.

Уравнение бета-анализа в модификации Дженсена выглядит следующим образом:

R - Rf = a + B x (Rm - Rf) + E,

где: R - фактическое значение доходности по данной акции; B x (Rm - Rf) - та часть рисковой надбавки, которая связана с общерыночными колебаниями доходности, т. е. вариационный систематический характер; Е - несистематическая составляющая рисковой надбавки, не обусловленная общерыночными тенденциями и отражающая вариационный несистематический риск.

В случае статистического решения задачи уравнение связи между R и Rm записывается в виде:

R = A + р x Rm + E,

тогда А и р можно найти по статистическим формулам:

р = ? (* - х) х( У - у); А = у -р Е = 0,

Е (* - *)2

где х = Rm за каждый отдельно взятый период времени; х - среднее значение х за

все периоды времени, в течение которых производились наблюдения; у, у - это соответственно значения показателя R в отдельно взятом периоде и в среднем.

Как правило, производимые во время реализации проекта затраты, требуют осуществления финансовых вложений не единовременно, а в течение определенного, достаточно длительного промежутка времени. Такое положение вещей дает менеджеру

возможность проводить переоценку своих вложений и оперативно реагировать на изменение конъюктуры реализации проекта.

Риск по проектам, при реализации которых инвестирование средств происходит в течение длительного периода времени, часто оценивается с помощью дерева решений.

Пример. Некая компания собирается инвестировать средства в производство роботов для использования в космических исследованиях. Инвестиции в данный проект производятся в три этапа.

этап. В начальный момент времени t=0 необходимо потратить $500 тыс. долл. на проведение маркетингового исследования рынка.

этап. Если в результате исследования будет выяснено, что потенциал рынка достаточно высок, то компания инвестирует еще $1,000 тыс. долл. на разработку и создание опытных образцов робота. Опытные образцы должны быть предложены к рассмотрению инженерам в центре космических исследований, которые решают вопрос о размещении заказа у данной компании.

этап. Если реакция инженеров благоприятная, то в момент времени t=2 компания начинает строительство нового предприятия по производству данного робота. Строительство такого предприятия требует затрат в $10,000 тыс. долл. Если данная стадия будет реализована, то по оценкам менеджеров проект будет генерировать притоки наличности в течение четырех лет. Величина этих потоков наличности будет зависеть от того, насколько хорошо этот робот будет принят на рынке.

Для анализа именно таких многостадийных решений чаще всего используется метод дерева решений (см. рисунок).

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 «Совместная NPV Итого:

вероятность» Prob*NPV\r\n $10 000 ($10 000) $1 0 000 $10 000 0.144 $15 250 $2 196\r\n ($1 0 000) $4 000 $4 000 $4 000 $4 000 0.192 $436 $34\r\n($1 ООО) $2 000 $2 000 $2 000 $2 000 0.144 ($1 4 379) ($2 071)\r\n($500) Стоп 0.320 ($1 397) ($447)\r\n Стоп 0.200 ($500) ($100)\r\nNPV=($338)

В этом примере мы предполагаем, что очередное решение об инвестировании принимается компанией в конце каждого года. Каждое "разветвление" обозначает точку принятия решения, либо очередной этап. Число в круглых скобках, записанное слева от точки принятия решения, представляет собой чистые инвестиции. В интервале с третьего по шестой годы (с t=3 по t=6) показаны притоки наличности, которые генерируются проектом. Например, если компания решает реализовывать проект в точке t=0, то она должна потратить 500 тыс. долл на проведение маркетингового исследования. Менеджеры компании оценивают вероятность получения благоприятного результата в 80%, и вероятность получения неблагоприятного результата в 20%. Если проект будет остановлен на этой стадии, то издержки компании составят 500 тыс. долл.

Если по результатам маркетингового исследования компания приходит к оптимистическому заключению о потенциале рынка, то в момент времени t=1 необходимо потратить еще 1,000 тыс.долл. на изготовление экспериментального варианта робота. Менеджеры компании оценивают вероятность положительного исхода в 60%, а вероятность отрицательного исхода в 40%.

Если инженеров центра космических исследований устраивает данная модель робота, тогда компания в момент времени t=2 должна инвестировать 10 000 тыс. долл. для постройки завода и начала производства. Менеджеры компании оценивают вероятность того, что в центре космических исследований воспримут такую модель благожелательно в

60% и вероятность противоположного исхода в 40% (что приведет к прекращению реализации проекта).

Если компания приступает к производству робота, то операционные потоки наличности в течение четырехлетнего срока жизни проекта будут зависеть от того, насколько хорошо продукт будет "принят" рынком. Вероятность того, что продукт будет хорошо "принят" рынком составляет 30% и в этом случае чистые притоки наличности должны составлять около 10 000 тыс. долл. в год. Вероятность того, что притоки наличности будут составлять около 4 000 тыс. долл. и 2 000 тыс. долл. в год, равна 40% и 30% соответственно. Эти ожидаемые потоки наличности показаны на нашем рисунке с третьего года по шестой.

Совместная вероятность, подсчитанная на выходе данной схемы, характеризует ожидаемую вероятность получения каждого результата.

Предположим, что ставка цены капитала компании при реализации данного проекта составляет 11,5%, и по оценкам финансовых менеджеров компании реализация данного проекта имеет риск, равный риску реализации типичного "среднего" проекта компании. Затем, умножая полученные значения чистой приведенной стоимости на соответствующие значения совместной вероятности, мы получим ожидаемую чистую приведенную стоимость инвестиционного проекта.

Поскольку ожидаемая чистая приведенная стоимость проекта получилась отрицательной, то компания должна отвергнуть этот инвестиционный проект. Однако на самом деле, вывод не так однозначен. Необходимо также учесть возможность отказа компании от реализации данного проекта на определенном этапе или стадии, что приводит к существенному изменению одной из ветвей дерева решений.

Издержки отказа от реализации проекта значительно сокращаются, если компания имеет альтернативу для использования активов проекта. Если бы в нашем примере, компания могла бы использовать оборудование для производства принципиально иного вида роботов, тогда бы проект по производству роботов для космических нужд мог быть ликвидирован с большей легкостью, следовательно, риск реализации проекта был бы меньше.

Наконец, отметим, что финансирование инвестиционных проектов — это динамичный процесс. В каждой узловой точке дерева решений условия реализации проекта могут измениться, что приводит к автоматическому изменению чистой приведенной стоимости.

Глава 2.4. Концепция рисковой стоимости

Фундаментом современной теории финансового риск-менеджмента, использующим формализацию на основе вероятностного подхода, является концепция рисковой стоимости. Рассмотрим ее подробнее.

В практике финансового менеджмента всегда существовала потребность в единой, оперативной и общепонятной оценке возможных потерь стоимости портфеля активов на определенный период времени. Показатель рисковой стоимости как раз и отвечает всем этим требованиям. Он был разработан в конце 1980-х годов и сразу же завоевал признание среди крупнейших участников финансового рынка. Его популярность объяснялась тем, что благодаря известной упрощенности, он был доступен для понимания руководителей на всех уровнях управления компанией. Впоследствии показатель рисковой стоимости стал полноценным стандартом информации о риске фирмы, который мог использоваться внутри самой компании, а также указываться в отчетах для инвесторов и регулирующих органов.

Рисковая стоимость (VaR) отражает максимально возможные убытки от изменения стоимости финансового инструмента, портфеля активов, компании и т. д., которое может произойти за данный период времени с заданной вероятностью его появления. Например, когда говорят, что рисковая стоимость на 1 дн. составляет 100 тыс. долл. США с

доверительным интервалом 95% (или вероятностью потерь 5%), это означает, что потери в течение одного дня, превышающие 100 тыс. долл., могут произойти не более чем в 5% случаев.

Иными словами, рисковая стоимость - это размер убытка, который может быть превышен с вероятностью не более x% [не будет превышен с вероятностью (100-x)%] в течение последующих n дней.

Для определения величины рисковой стоимости необходимо знать зависимость между размерами прибылей и убытков и вероятностями их появления, т. е. распределение вероятностей прибылей и убытков в течение выбранного интервала времени. В этом случае по заданному значению вероятности потерь можно однозначно определить размер соответствующего убытка. Однако реальный закон распределения вероятностей в большинстве случаев неизвестен, поэтому в качестве замены приходится использовать другое, хорошо изученное распределение. Типичным приемом является использование нормального распределения вероятностей.

Из определения следует, что ключевыми параметрами при определении рисковой стоимости являются доверительный интервал и временной горизонт. Поскольку убытки являются следствием колебаний цен на рынке, доверительный интервал служит той границей, которая, по мнению управляющего портфелем, отделяет «нормальные» колебания рынка от экстремальных ценовых всплесков по частоте их проявления. Обычно вероятность потерь устанавливается на уровне 1%, 2,5% или 5% (соответствующий доверительный интервал составляет 99%, 97,5% и 95%), однако риск- менеджер может выбрать какое-либо иное значение в соответствии со стратегией управления капиталом, которой придерживается данная компания. В частности, в системе RiskMetrics, разработанной банком J. P. Morgan, используется 5%-я вероятность. Помимо субъективной оценки, доверительный интервал может быть установлен и объективным методом. Для этого строят график реально наблюдаемого (эмпирического) распределения вероятностей прибылей и убытков и совмещают его с графиком плотности нормального распределения. Точки пересечения «хвостов» эмпирического и нормального распределения и будут задавать искомый доверительный интервал.

Следует учитывать, что с увеличением доверительного интервала показатель рисковой стоимости будет возрастать: очевидно, что потери, случающиеся с вероятностью лишь 1%, будут выше, чем потери, возникающие с вероятностью 5%.

Выбор временного горизонта зависит от того, насколько часто производятся сделки с данными активами, а также от их ликвидности. Для финансовых институтов, ведущих активные операции на рынках капитала, типичным периодом расчета является 1 дн., в то время как стратегические инвесторы и нефинансовые компании могут использовать и большие периоды времени. Кроме того, при установлении временного горизонта следует учитывать наличие статистики по распределению прибылей и убытков для желаемого интервала времени. Вместе с удлинением временного горизонта возрастает и показатель рисковой стоимости. Интуитивно понятно, что возможные прибыли и убытки, например, за 5 дн. могут иметь большие масштабы, чем за 1 дн. На практике считают, что за период

в n дней величина рисковой стоимости будет приблизительно в Vn раз больше, чем за 1 дн.

Следует помнить, что концепция рисковой стоимости неявно предполагает, что состав и структура оцениваемого портфеля активов будут оставаться неизменными на протяжении всего временного горизонта. Такое допущение вряд ли оправданно для сравнительно больших интервалов времени, поэтому при каждом обновлении портфеля необходимо корректировать величину рисковой стоимости.

Показатель рисковой стоимости, конечно, не является единственным и универсальным инструментом оценки рисков. Как правило, расчет рисковой стоимости сопровождается детальным анализом нескольких возможных сценариев, моделированием эмпирических распределений вероятностей и тестированием портфеля на устойчивость к

изменениям основных параметров. Величина рисковой стоимости как обобщающая оценка рыночного риска нужна в первую очередь для принятия оперативных решений высшим руководством компании.

Для расчета показателя рисковой стоимости используются три различных экономико-математических метода: аналитический, метод исторического моделирования и метод статистических испытаний Монте-Карло. Первый из них является параметрическим и позволяет получать оценки в замкнутом виде, а два других представляют своего рода математический эксперимент. Начальным этапом и необходимым условием реализации этих методов является определение так называемых «рыночных факторов риска», т. е. основных цен и процентных ставок, которые оказывают влияние на стоимость портфеля. Выделение ограниченного набора рыночных факторов позволяет представить цену финансового инструмента как функцию этих факторов и тем самым решить главную проблему количественного описания стоимости портфеля.

Определение рыночных факторов предполагает «разложение» входящих в портфель финансовых инструментов на более простые инструменты, непосредственно связанные с рыночными факторами риска, и их дальнейшее рассмотрение как «субпортфелей», или позиций, состоящих из таких первичных инструментов. Например, цена форвардного контракта на поставку одной валюты в обмен на другую валюту зависит от трех рыночных факторов: обменного курса «спот» одной валюты к другой и двух процентных ставок по каждой из валют контракта. Для всех инструментов, входящих в портфель, должны быть получены аналитические зависимости, выражающие их текущую стоимость через рыночные факторы риска. В некоторых случаях, когда точная формула стоимости неизвестна, для оценки стоимости инструмента применяют численные методы.

Это наиболее сложный этап, поскольку для крупного финансового института количество таких факторов может измеряться сотнями. Последующие этапы включают определение вида и оценку параметров статистического распределения ожидаемых в будущем значений рыночных факторов, использование полученных значений и аналитических зависимостей для определения потенциальных изменений стоимостей различных позиций, составляющих портфель, и последующее ранжирование и суммирование изменений стоимости по всем позициям для оценки ожидаемых изменений стоимости всего портфеля.

Аналитический (ковариационный, дельта-нормальный) метод основывается на классической теории портфеля финансовых активов. Самой известной реализацией аналитического метода является система RiskMetrics, разработанная банком J. P. Morgan. В качестве основного допущения предполагается, что изменения рыночных факторов риска имеют нормальное распределение. Это предположение позволяет определить распределение прибылей и убытков для всего портфеля, которое также будет нормальным. Затем, зная свойства закона нормального распределения можно легко вычислить убыток, который будет случаться не чаще заданного процента случаев, т. е. показатель рисковой стоимости.

Краеугольным камнем аналитического метода является процедура отображения рисков (англ. risk mapping). Она предполагает декомпозицию каждого инструмента из портфеля на множество более простых, стандартных инструментов или позиций, при этом каждая стандартная позиция должна отображать лишь один рыночный фактор риска. Для каждой стандартной позиции определяется ее текущая стоимость как функция от единственного рыночного фактора, при условии, что значения других рыночных факторов риска являются фиксированными. Для оценки опционов используется линейная аппроксимация, при этом стоимость опциона выражается в виде дельта-эквивалентной позиции «спот».

Таким образом, исходный портфель финансовых инструментов представляется в виде эквивалентного портфеля стандартных позиций. Эквивалентность, которая в общем

случае может быть лишь приблизительной, означает, что портфель стандартных позиций имеет такую же чувствительность к изменениям значений рыночных факторов. Величина рисковой стоимости определяется именно для эквивалентного портфеля стандартных позиций. Подобная аппроксимация дает хорошие результаты, если число стандартных позиций достаточно велико и портфель не содержит большой доли опционов и основанных на них инструментов, для оценки которых линейная аппроксимация может оказаться неадекватной.

На следующем этапе делается предположение, что однодневные процентные изменения или приращения логарифмов значений факторов риска имеют нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю. Для каждого рыночного фактора проводится статистическая оценка величины среднего квадратического отклонения, а также рассчитываются коэффициенты корреляции между различными парами факторов. Полученные результаты используются для определения средних квадратических отклонений и коэффициентов корреляции для стоимостей стандартных позиций. Среднее квадратическое отклонение стандартной позиции рассчитывается как произведение среднего квадратического отклонения соответствующего рыночного фактора на коэффициент эластичности стоимости позиции по данному рыночному фактору (процентное изменение стоимости позиции при изменении величины рыночного фактора на 1%). Коэффициенты корреляции для стандартных позиций равны коэффициентам корреляции между соответствующими рыночными факторами за исключением того, что коэффициент корреляции меняет знак, если стоимость стандартной позиции изменяется обратно по отношению к изменению рыночного фактора.

Затем составляется ковариационная матрица изменений стоимостей стандартных позиций. С помощью этой матрицы и формулы дисперсии для суммы нормально распределенных случайных переменных можно рассчитать дисперсию стоимости портфеля, состоящего из стандартных позиций. Ковариационная матрица умножается слева и справа на вектор значений стоимостей позиций, в результате чего вычисляется значение дисперсии портфеля, откуда путем извлечения квадратного корня находится его среднее квадратическое отклонение.

Наконец, на основе свойств нормального распределения определяется значение рисковой стоимости. Так, если доверительный интервал задан на уровне 95%, то величина рисковой стоимости равна 1,65 стандартного отклонения портфеля.

Таким образом, величина рисковой стоимости рассчитывается по следующей формуле:

где Z - количество средних квадратических отклонений, соответствующее заданному доверительному интервалу; t - временной горизонт; p - вектор размера позиций; Q - ковариационная матрица изменений стоимости позиций.

Метод исторического моделирования (historical simulatton) является относительно простым подходом, который, в отличие от аналитического метода, не опирается на теорию вероятностей и требует относительно небольшого числа предположений относительно статистических распределений для рыночных факторов риска. Как и в аналитическом методе, стоимости инструментов портфеля должны быть предварительно представлены как функции рыночных факторов риска.

Искомое распределение прибылей и убытков находится эмпирическим путем. Текущий портфель подвергается воздействию реальных изменений значений рыночных факторов риска, которые наблюдались в прошлом, например, за последние n периодов. Для этого строится n множеств гипотетических значений рыночных факторов на основе их нынешних значений и процентных изменений за последние n периодов. Таким образом, полученные гипотетические значения основываются на реальных данных, но не тождественны им. На основе этих гипотетических наборов значений рыночных факторов рассчитывается n гипотетических значений стоимости портфеля. Сравнение этих

значений с текущей стоимостью портфеля дает возможность найти n величин прибылей и убытков, вызванных изменением рыночных факторов. Полученные величины также являются гипотетическими, так как портфель мог иметь разный состав на протяжении последних n периодов. Последним этапом является построение эмпирического распределения вероятностей прибылей и убытков, полученных в результате изменений стоимости портфеля, и определение величины рисковой стоимости.

Метод статистических испытаний Монте-Карло (Monte-Carlo simulation) также относится к методам имитационного моделирования, и в силу этого он имеет ряд общих особенностей с методом исторического моделирования. Основное отличие заключается в том, что в методе Монте-Карло не производится моделирование с использованием реально наблюдаемых значений рыночных факторов. Вместо этого выбирается статистическое распределение, хорошо аппроксимирующее наблюдающиеся изменения рыночных факторов, и производится оценка его параметров. Для этой цели часто используется распределение Стьюдента или смесь нормальных распределений. Затем на основе выбранного распределения с помощью генератора псевдослучайных чисел генерируются тысячи или даже десятки тысяч гипотетических наборов значений рыночных факторов. Полученные значения используются для расчета величин прибылей и убытков, вызванных изменением стоимости портфеля. На последнем этапе строится распределение прибылей и убытков портфеля и определяется величина рисковой стоимости.

Выбор метода расчета показателя рисковой стоимости будет определяться составом и структурой портфеля, доступностью статистических данных и программного обеспечения, вычислительными мощностями и рядом других факторов.

Аналитический метод уступает методам имитационного моделирования в надежности оценки рисков портфелей, состоящих из опционов и основанных на них инструментов, стоимость которых зависит от рыночных факторов нелинейным образом, особенно на сравнительно больших временных горизонтах. Метод исторического моделирования концептуально прост и наиболее доступен для понимания высшего руководства, однако его реализация требует наличия временных рядов значений по всем используемым в расчетах рыночным факторам, что не всегда возможно для сильно диверсифицированных портфелей. В особенности это касается данных по процентным ставкам для валют стран, не имеющих развитых финансовых рынков. Кроме того, историческое моделирование предполагает, что поведение рынка в прошлом будет повторяться и в будущем, что в общем случае неверно. Главной трудностью при реализации метода Монте-Карло является выбор адекватного распределения для каждого рыночного фактора и оценка его параметров. Кроме того, оценка рисков крупных диверсифицированных портфелей на основе метода Монте-Карло требует больших затрат времени и технических ресурсов. Еще одна проблема заключается в том, что гипотетические распределения вероятностей рыночных факторов, используемые в аналитическом методе и методе Монте-Карло, могут не соответствовать реальности. Обычно эмпирические распределения изменений рыночных факторов имеют значительный эксцесс по сравнению с нормальным распределением, т. е. случаи больших отклонений от среднего значения встречаются чаще, чем это предусмотрено нормальным распределением.