3.3 Внутригодовые процентные начисления

Формула (2) справедлива для случая начисления процентов раз в году, однако зачастую на практике встречается начисление процентов несколько раз в году. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

FV = PV (1+ j/m)n*m,                    (3)

где j – годовая ставка;

m – количество начислений в году.

Пример

Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Если воспользоваться формулой (3), то m=2, n=2, следовательно:

FV = 5 (1+ 0,2/2)4 = 7,3205 тыс. руб.

3.4 Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться по формуле:

•              по схеме сложных процентов:

FV = PV (1+ k)n+f,(4)

где f – дробная часть года.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (4): FV = 10 (1+ 0,3)2+0,5= 19,269 тыс. руб.

3.5 Эффективная и номинальная ставка процентов

Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (т раз в году), то имеет место внутригодовая капитализация процентов. Наращение идет быстрее, чем при разовой капитализации. Ставку j называют номинальной.

Введем новое понятие – эффективная ставка процентов. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную процентную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

(1+i)n = mn.

Из равенства множителей наращения следует:

i = m – 1                           (5)

Пример.

Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка ранва 25% при помесячном начислении процентов?

i = 12 – 1 = 0,280732

Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,07 %.