1.2 Содержание понятий динамичное и устойчивое развитие экономических объектов и систем
Одной из главных задач в процессе развития любой системы является обеспечение её устойчивого состояния.
«Устойчивость» - образовано от корня слова «устой», что значит «прочно укоренившаяся традиция, основополагающее начало, основа чего-либо» [145, С, 129.].
Многие из используемых терминов стали результатом искаженного перевода с английского языка. В частности, stability, в переводе с английского «стабильность, устойчивость» - синонимы, в технических, математических науках (математической статистике, кибернетике, динамике, механике и др.), а в экономических дисциплинах наибольшее распространение получил термин «устойчивость». В связи с тем, что в последние десятилетия происходит все большая интеграция всех наук, в трудах российских экономистов вместо терминов «стабильность», «стабильный рост», «стабильное развитие» стали использоваться термины «устойчивость», «устойчивый рост», «устойчивое развитие».
В математической энциклопедии утверждается, что «устойчивость» - термин, не имеющий четко определенного содержания. Однако она определяет понятие устойчивости применительно к движению и к геометрическим или иным объектам, зависящим от параметров.
1. Устойчивость применительно к движению - характер поведения системы на бесконечном промежутке времени. Этот характер движения выражается следующим образом:
а) как свойство движущейся системы в том или ином смысле мало отклоняться от некоторого движения при малых возмущениях начального положения системы (устойчивость по Ляпунову);
б) как свойство системы сохранять некоторые черты фазового портрета при малых, возмущениях закона движения (грубая система) – структурная устойчивость, понятие введено А.А. Андроновым и Н.С. Понтрягиным;
в) как свойство системы в процессе движения оставаться в ограниченной области фазового пространства (устойчивость по Лагранжу);
г) как свойство системы в процессе движения сколь угодно поздно возвращаться как угодно близко к своему начальному положению (устойчивость по Пуассону).
2. Устойчивость применительно к геометрическим или иным объектам, зависящим от параметров, - непрерывная зависимость этих объектов от параметров [99, С.560-562.].
Однако, все эти значения термина «устойчивость» не исчерпывают его содержания.
Наиболее употребительно понятие устойчивости в физике, в которой основным рассматриваются устойчивость движения, устойчивость равновесия и устойчивость упругих систем.
«…Если при достаточно малых начальных возмущениях какая-нибудь из характеристик во все последующее время мало отличается от того значения, которое она должна иметь в невозмущенном движении, то движение системы по отношению к этой характеристике называется устойчивым». Теория устойчивости движения имеет важное практическое значение для многих областей техники, т.к. устойчивым движением должны обладать различного рода двигатели автомобили, самолёты, ракеты и др.» [35, С.129-132].
«Равновесие механической системы устойчиво, если при малом возмущении (смещении, толчке) точки системы во все последующее время мало отклоняются от их равновесных положений…» [там же].
«Устойчивость упругих систем, свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния».
«Устойчивость системы автоматического управления (САУ), способность САУ нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям)» [там же].
Также выделяют устойчивость решения дифференциальных уравнений, устойчивость основания, устойчивость сооружения, термодинамическую устойчивость, устойчивость транспортных машин, устойчивость электрической системы, устойчивость в теории игр, экономическую устойчивость и др.
О динамической системе говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, называемых динамическими переменными и характеризующих состояние системы, что их значения в любой момент времени получаются из исходного набора по определенному правилу [172].
Классификацию динамических систем принято осуществишь в зависимости от вида дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему, и от характера возможных движений в динамической системе.
1. По виду дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, - линейные и нелинейные динамические системы.
2. По наличию или отсутствию в дифференциальных уравнениях, описывающих динамические системы в явном виде времени t — автономные и неавтономные системы.
Автономная динамическая система n-го порядка определяется уравнением состояния вида:
x = f(x), x(t0) = x0 (1)
где x = dx/dt, x(t) 0 выполняется равенство:
фе(х*,t0)= фе+T (х*,t0) (3)
Изолированное периодическое решение для автономной системы называется предельным циклом. Предельный цикл представляет собой самоподдерживающееся колебание и не может возникать в линейных системах.
Квазипериодическим называется такое решение, которое может быть представлено в виде суммы периодических функций. Квазипериодическое колебание представляет собой сумму периодических колебаний, частота каждого из которых образуется путем сложения и вычитания базисных частот, выбираемых из некоторого конечною множества [172].
Наряду с вышеперечисленными видами движения в нелинейных динамических системах существует особый вид колебаний - динамический хаос. Хаотические режимы характеризуются нерегулярным, похожим на случайный процесс, изменением динамических переменных во времени. Обязательным свойством хаотических систем является высокая чувствительность к вариациям начальных условий. Это означает, что если заданы две различные начальные точки, располагаемые относительно друг друга на сколь угодно близком расстоянии, то траектории, исходящие из этих точек, будут расходиться (с некоторой скоростью, определяемой характеристиками системы) до тех пор, пока они не перестанут быть коррелированными (в соответствии с каким-либо практическим критерием корреляции).
В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов - сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из некоторой прилегающей области [172].
В трехмерном фазовом пространстве «странное» поведение траекторий можно представить, например, следующим образом; они разбегаются по спиралям на плоскости, а возвращаются на нее после выхода в пространство.
Так как поведение таких систем в сильной степени зависит от начальных условий, то, несмотря на детерминированность описания, нет возможности предсказать эволюцию системы. Причина этого - в наличии скоплений бесконечно большого количества траекторий в очень малых областях фазового пространства. Поэтому сколь угодно малой флуктуации достаточно для того, чтобы система совершила перескок с одной траектории на другую, которая с течением времени отойдет от первоначальной траектории на значительное расстояние. Таким образом, сколь угодно малые («микроскопические») флуктуационные воздействия на систему будут порождать «макроскопическую» стохастичность процесса [172].Рассмотрим несколько нелинейных динамических систем с хаотическим поведением, описывающих различные процессы в радиоэлектронике.
Динамическая система Лоренца [172] является одной из наиболее изученных нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Впервые она была получена австрийским ученым Лоренцом как результат упрощения гидродинамических уравнений конвекции Рэлея-Бинара.
В радиоэлектронике сходными уравнениями описываются, в частности, процессы происходящие в активной среде квантового генератора [172].
Процесс генерации в квантовом генераторе описывается уравнениями Максвелла, которые в одномодовом приближении (когда возбуждается один тип собственных колебаний резонатора квантового генератора) сводятся к уравнению осциллятора с затуханием, возбуждаемого поляризацией активной среды [172].
В настоящее время не существует строгих аналитических методов решения нелинейных систем с динамическим хаосом. Изучение свойств и особенностей хаотических колебаний в динамических системах потребовало привлечения для их анализа ряда самостоятельных дисциплин и методов, таких, как теория нелинейных колебаний, теория динамических систем, теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и бифуркаций (бифуркация - качественное изменение движения), статистическая теория.
Буквально «бифуркация» означает «раздвоение».
В этом смысле оно употребляется, например, в анатомии («бифуркация бронха») и означает раздвоение трубчатого органа на 2 ветви одинакового калибра, отходящие в стороны под одинаковыми углами [35, С.129-132].Бифуркация рек – разделение реки и её долины на 2 ветви, которые в дальнейшем не сливаются, впадают в различные бассейны.
В математике этот термин употребляется в более широком смысле - для обозначения качественных изменений рассматриваемых объектов при изменении параметров, от которых эти объекты зависят. Более точных общих формулировок здесь дать нельзя, потому что рассматриваемые объекты и интересующие исследователей свойства этих объектов могут быть самыми различными. Точные формулировки относятся к тем или иным конкретным задачам.
По мнению политолога Т. Полянникова в теории нелинейной динамики термин «бифуркация» несет большую содержательную нагрузку: он означает момент в эволюции системы, когда ее устойчивое, предсказуемое развитие заканчивается и она вступает в период поиска нового направления развития. Другими словами, бифуркация – это период неопределенности, когда жить по-старому уже нельзя, а как жить по-новому еще непонятно. При этом перед системой, так или иначе, возникают несколько альтернативных сценариев развития, или образов будущего [119].
Понятие «точка бифуркации» описывает локальное поведение траектории динамической системы. При определённых условиях зависимость решения уравнения от параметра может стать неоднозначной; в этом случае данное значение параметра есть точка бифуркации (или ветвления) этого решения. Поскольку график имеет форму вилки (англ. - fork), само явление называется «бифуркацией». Ветвление решений уравнения (т. е. траекторий в фазовом пространстве) интерпретируют как неединственность (альтернативность, многовариантность) путей эволюции динамической системы. Множество, состоящее из точек бифуркации, называется катастрофическим [71]. Классификация неустойчивостей устанавливается в теории катастроф французского математика Р.
Тома и В.И. Арнольда [19]. В социально-гуманитарных исследованиях понятие «катастрофа» используют в метафорическом, нематематизированном смысле.Уже давно известны многочисленные примеры резкого изменения поведения различных систем, когда одно стационарное состояние сменяется другим или исчезает стационарный режим. Общий математический подход к исследованию резких качественных изменений изначально отсутствовал, однако импульсы, идущие от механики и физики побудили к рассмотрению конкретных задач такого рода и нахождению путей их анализа. Решение каждой задачи составляло самостоятельную проблему. За два века был накоплен огромный опыт исследования резкого изменения в различных физических системах, тесно связанный с формированием понятий устойчивости и неустойчивости равновесия. Современное понятие структурной устойчивости функции тесно связано с одним из аспектов задач на экстремум, который долгое время оставался в не поля зрения математиков и физиков. При рассмотрении функций вида 1) y=x2, 2) y=x3, 3) y=x4 видно, что все они имеют нулевую первую производную в начале координат x=0 – критическая точка. Первая и третья функции имеют в критической точке минимальное значение, а вторая точку перегиба, и в традиционных рамках задач на экстремум это различие представляется наиболее важным. Если слегка «пошевелить» рассматриваемые функции, введя слабые возмущения: 1) y=x2-εx, 2) y=x3-εx, 3) y=x4-εx2, где ε может быть сколь угодно малым по величине (рисунки 1, 2, 3).
В результате такого возмущения в случае (1) никаких принципиальных изменений не происходит: сохраняется единственная критическая точка, которая лишь смешается на малую величину x0=ε/2, причём значение функции в этой точке (единственный минимум) изменяется на величину y0=-ε2/4 (рисунок 1).
Рисунок 1 – Смещение кривой в первом случае
Во втором и третьем случае ситуация совсем иная. Вторая функция для которой начало координат было точкой перегиба, приобретает две экстремальные точки x1,2=±√ε/3, одна из которых соответствует минимуму, а другая – максимуму (рисунок 2).
При этом начало координат становится точкой максимума, а в двух новых критических точках, сколь угодно близких к точке x=0, функция принимает критические значения. Построение математической модели любого процесса связано с пренебрежением малыми членами. В первом случае это вполне оправдано: учёт малого отклонения функции от квадратной параболы приводит не к качественным, а к малым количественным изменениям. Во втором и третьем случаях поведение при учёте малых поправочных членов качественно иное. Таким образом, функции y=x3 и y=x4, несмотря на то, что вторая из них имеет экстремум, а первая нет, объединяет общее свойство, которое, не прибегая к строгим определениям, называют структурной неустойчивостью. Этот термин отражает то, что при малом изменении структуры функции её поведение в окрестности критической точки резко изменяется. Наоборот функция y=x2 структурно устойчива.
Рисунок 2 – Смещение кривой во втором случае
Функция y=x4, имевшая единственный минимум в начале координат, в результате малого «шевеления» имеет уже три критические точки (рисунок 3).
Рисунок 3 – Смещение кривой в третьем случае
Свойство структурной устойчивости (неустойчивости) функции не было включено в арсенал математических понятий вплоть до 30-х годов XX века, когда оно впервые было сформулировано А.А. Андроновым [15]. Через несколько десятилетий понятие о структурной устойчивости стало одним из ключевых для теории катастроф.
Можно предположить, что структурно неустойчивые в критических точках функции непригодны для описания реальности. Но, как правило, функции, возникающие в физических приложениях, содержат некоторые параметры, значения которых могут изменяться в определённом диапазоне (подобно параметру ε). В таких случаях говорят о семействе функций зависящих от параметра.
Может случиться, что при изменении последнего с неизбежностью достигается значение (в нашем примере ε = 0), соответствующее структурно неустойчивой критической точке, которая тем самым приобретает вполне реальный смысл. Более того, именно эта точка, будучи одной из реализаций семейства критических точек, является наиболее важной, поскольку с ней связаны качественные изменения в поведении системы (подобные описанным выше).
Анализ семейств функций в связи с задачами на минимум и максимум также не стал предметом общематематических построений ни в XVIII, ни в первой половине XIX века. Только великий французский математик А. Пуанкаре увидел в таком анализе общематематическую проблему. В связи с его формулировкой этой проблемы возникло понятие «бифуркация», также ставшее позднее одним из ключевых в теории катастроф. Напомним, что термин «бифуркация» буквально означает «раздвоение», но обычно применяется в более широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят [19]. В примере с семейством y=x4-εx2 значение параметра ε = 0 соответствует также точке бифуркации, поскольку при переходе ε от отрицательных значений к положительным единственное устойчивое стационарное состояние х=0, становясь неустойчивым, дополняется парой устойчивых состояний x=±√ε/2. В примере же с семейством функций y=x3-εx, при отрицательных ε стационарные состояния вообще отсутствуют, а в точке ε=0 происходит рождение пары таких состояний, одно из которых устойчиво, а второе неустойчиво. В обоих случаях значения ε=0 соответствуют точкам бифуркации, хотя и различных типов.
Общая задача исследования точек бифуркации как математическая проблема состоит в их классификации и анализе поведения семейств функций вблизи структурно неустойчивых критических точек. Понятие бифуркации позволяет глубже проникнуть в сущность структурной неустойчивости, выявляя ее следствия.
В результате анализа вышепредставленных многочисленных примеров задач устойчивости, ставших объектами исследования в приложениях математики, можно сделать вывод, что, в конечном счете, эти задачи приводят тем или иным путем к простым моделям, определяемым одной, максимум двумя функциями, зависящими от одного или двух параметров. В этих случаях хватает стандартных представлений, развитых применительно к задачам на экстремум. Однако при анализе более сложных систем оказываются чрезвычайно полезными идеи и методы теории катастроф. Они позволяют ответить на вопросы, которые ранее не были поставлены [91].
Теория катастроф представляет собой аналитическую программу изучения и прогнозирования неустойчивости систем [50, С. 9-13]. Свое название она получила потому, что потеря устойчивости может быть катастрофичной, даже если это не приводит к разрушению системы, а лишь обусловливает переход к иному пути развития. Программа прогнозирования катастрофы в системе может быть построена на основе данных об изменениях и связях переменных, характеризующих поведение системы. Переменные представляют собой косвенные признаки, по которым можно судить о возможности или наличии катастрофы в системе. Для хозяйствующих систем самым распространенным признаком является аномальная дисперсия или дисперсия случайных величин – это мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания [115, С. 145]. Другими словами, признаком приближения катастрофы является нарастание дисперсии или амплитуды колебаний величин, характеризующих систему.
Во многих случаях могут быть использованы и другие признаки, которые разделяются на две группы:
1. а) возможность существования более чем одной траектории устойчивого развития или равновесия;
б) скачкообразное, быстрое изменение характеристик;
в) большие изменения характеристик при малых управленческих воздействиях;
г) проявление эффекта гистерезиса, т.е. сравнительные трудности возврата системы к характеристикам предыдущего состояния;
2. а) различия в реакциях на одни и те же воздействия при неизменных условиях;
б) замедление затухания колебаний характеристик;
в) увеличение частоты колебаний.
В дальнейшем работа будет направлена на изучение экономических систем корпоративного и регионального уровней, а устойчивость как интегрированное качество этих систем. В этой связи проблема равновесия экономических систем на любом уровне может быть описана идеальными моделями, представленными в данном подпункте. Важным условием устойчивости развития системы является тот факт, что экономическая система имеет возможность эффективного поступательного развития в рамках задаваемых минимально необходимых параметров ее внутренней устойчивости.
Отсюда следует, что устойчивость экономической системы зависит от синергетического эффекта, достигаемого внутри элементов такой системы. Синергетика (от греч. sinergeia - совместное действие) – это научное направление, исследующее процессы самоорганизации в природных, социальных и когнитивных системах.
В этой связи можно согласиться с мнением А.Н Фоломьева, который считает, что наиболее преуспевающие в условиях рынка предприятия и корпорации обладают наибольшими предпосылками для стабильной деятельности с положительной экономической динамикой, которые проявляются в совокупности их особых свойств, в числе которых [164]:
- гибкость реакции на меняющуюся конъюнктуру рынка;
- конкурентоспособность продукции и производства;
- инновационная и инвестиционная активность;
- высокая ликвидность и финансовая стабильность;
- развитость предпринимательских структур;
- широкое использование инновационных и, прежде всего, технико-технологических факторов для саморазвития.
Важным моментом в рассуждениях Фоломьева является анализ взаимосвязи между категориями экономической устойчивости и положительной инновационной хозяйственной динамикой, которая, по его мнению, более сложная, чем простая причинно-следственная связь. На формирование каждой из них преимущественное воздействие оказывают инновационные факторы. Инновационные факторы, как правило, улучшают экономическую динамику, но повышают коммерческий риск, могут привести к временному снижению прибыли, следовательно, может ухудшиться финансовая устойчивость, а значит, и экономическая устойчивость в целом. Но затем наступает не только более стабильное развитие фирмы, но и создаются более мощные, более развитые предпосылки для нового этапа положительной экономической динамики [164].
Все это также подтверждается в исследованиях таких известных в прошлом и современных экономистов как Й. Шумпетер, Н.Д. Кондратьев, С.Ю. Глазьев, М. Портер и др.
Таким образом, для экономических процессов на любом уровне характерен циклический способ развития. Долговременный экономический рост не является равномерным, что выражается в сменяющих друг друга подъёмах и спадах уровня экономической активности при общей динамичной тенденции к повышению этого уровня. Следующие один за другим, подъёмы и спады в экономике имеют критические точки, в момент прохождения которых система становится неустойчивой и должна принимать решение в отношении нового направления развития. Эти точки являются прототипом точек бифуркации, а существующий математический аппарат может использоваться для описания экономических процессов.