7.1.1. Формальная постановка задачи и модельные допущения
Входные данные (дано):
T - расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения опционного контракта);
So - стартовая цена подлежащего опционам актива; zc - цена приобретения опциона call; zp - цена приобретения опциона put; xc - цена исполнения опциона call; xp - цена исполнения опциона put;
ST - финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина); гт - текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени o (случайная величина); гт - среднеожидаемая доходность подлежащего актива;
аг - среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива;
Выходные данные (найти):
IT - доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;
RT - текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по
отношению к стартовому моменту времени o (случайная величина);
RT - среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);
Gr - СКО доходности опциона (комбинации);
QT - риск опциона (комбинации).
Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе их использования.
Также мы дополнительно оговариваем следующее:
1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять модель).
2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа, т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам активах и сроков соответствующих опционных контрактов.
Еще один важный момент. Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным процессом [7.1,7.2], и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное.
Все, что я думаю по поводу применения вероятностных моделей к анализу ценового поведения акций, я подробно изложил в [7.4]. В этом же смысле высказывается и автор работы [7.5]. Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в экономической статистике. Но, поскольку этот инструмент учета неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей. А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять модельные допущения и одновременно переходить от статистических вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами, используя при этом результаты теории нечетких множеств, по образцу того, как это делается в разделе 5 настоящей работы. Задача эта в целом выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой теории мы сможем уже здесь.Переход от вероятностных описаний к нечетким будет рассмотрен в конце этой главы, а сейчас посмотрим на винеровский ценовой процесс с постоянными параметрами ц (коэффициент сноса, по смыслу - предельная курсовая доходность) и а (коэффикциент диффузии, по смыслу - стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса [7.2,7.6]:
- НА + 02(1), (7.1)
где 2(1:) - стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.
Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно Б0, то мы можем, исходя из (7.1), построить вероятностное распределение цены БТ в момент Т. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
- среднее значение:
8т = 80е^; (7.2) \r\n
(7.3)
среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST/S0:
оS - °Т.
В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность обозначим как \r\n
\r\n(7.4)
<Р s(x) =
dPr(S < x) dx \r\n
\r\n
Рис. 7.1. Примерный вид плотности нормального распределения
Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.