Внутренняя норма доходности (internal rate of return, IRR)

Из данного определения следует также, что внутренняя норма чв имеет смысл такой ставки процента, для которой срок окупаемости проекта (Ь„Л совпадает с его продолжительностью (Т), н> ее п. с дліой поступления "замыкающего" дохода, мы знаем, что при фиксированной ставке і меньшему сроку окупаемости инвестиций отвечает большая эффективность их использования.

Наоборот, при сроке окупаемости, фиксированном на дату продолжи-тельности проекта, чем выше внутренняя норма доходности цц, тем лучше. Так, если капиталовложения производятся только за счет приаіечен- ных под ставку і средств, разность яв - і показывает эффект инвестиционной деятельности. При Яв = \' Доход только окупает инвестиции, при Яв < \' инвестиции убыточны.

1Ь сказанною вьпекпег, что уппр?пь г];! птностью оппепепяется внутренними характеристиками проекта {К,, і = ТІ и является корнем

уравнения (20). Следует, однако, отметить, что у данного уравнения может быть несколько корней. Действительно, его левая часть - многочлен от неизвестной у, а всякий многочлен степени п, паї, имеет п корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

1-У

этой причине задача отыскания внутренней нормы доходности Яв "

некорректна и в общем случае из найденных корней приходится выбирать тот единственный, который не противоречит инвестиционному смыслу решения.

Пример. Заемщик, определивший затраты I но осуществление меро- приятия, то есть величину требуемой ссуды, рассчитывает процент, который он готов уплатить кредитору. При этом он основывается на проектной эф-

фективности этого мероприятия. \r\n

pu ht y {E,, t 1, 2, ...} ec приведенной І_І0ИЛЛ0СІ ыи. получим уииьп^иис дли выбранной нормы доходности:

-I + ME1-0

Чв

с решением qB = 0,06 = 6%.

Таким образом, максимальная приемлемая для заемщика ставка не

должно превышогь 6%-ю уровня.

Пусть имеется ряд инвестиционных проектов, различающихся затратами, но тождественных по результату. Это могут быть различные варианты нового строительства, технического перевооружения или, скажем, конкурирующие проекты возведения моста и т. д. Сюда же относится случай, когда проекты можно условно привести к одинаковым результатам, скорректировав для этого издержки на их осуществление.

Для тождественных по итогам инвестиционных проектов практика предлагает метод их оценки путем сравнения соответствующих этим проектам тптрпт Зпесь нлрячу с капиттьными •птртг!\'"" \\-!»іп !•••¦>\'<¦>\'••-« -"-ж; -? текущие издержки, например себестоимость годового выпуска продукции на проектируемых фондах. В качестве примера рассмотрим проект) с разовыми капитальными вложениями и растянутыми во времени текущими издержками, приходящимися на период отдачи от этих вложений (рис. 8). \r\n

\r\n1

t

\r\nПусть п - число анализируемых проектов. Каждому из них соответст-вует свой поток затрат (рис. 8), и все они характеризуются достаточно длительным периодом отдачи Т. Имея это в виду, будем при определении современной величины Aj этого потока считать его длительность бесконечно большой. В результате найдем:

А і = К; + СіУ + СіУ2 + ... + С/ + ... = кі + ¦ \r\n

\r\nгде Y

1 + і

- дисконтный множитель по ставке сравнения і.

А, = тт{А;}.

Очевидно, что данный критерий выбора равносилен минимизации известного из экономической литературы показателя приведенных затрат

С^ + —;> 1ГПП .

В бывшем СССР в качестве ставки сравнения \\ использовался нормативный коэффициент эффективности. Для ряда отраслей он был установлен в диапазоне от 0,1 до 0,5, а средний для народного хозяйства составлял 0,15 (минимально допустимая отдача с каждого рубля вложений), что предполагало максимально допустимые сроки окупаемости от 10 до 2, а в среднем - около 6 лет. Подобные нормативы экономической эффективности применяются в ряде стран при бюджетном финансировании освоения государственно важных технических и технологических новшеств.

Пример. Предприятие имеет возможность выбрать агрегат из трех предложенных варионюв, киждый из которых обеспечивает выпуск заппаниро- ванного годового объема продукции. Варианты различаются себестоимостью | годового выпуска и капитальными вложениями.\r\nВариант Капиталовложения на внедрение агрегата, Kj, млн. руб. Себестоимость годового выпуска продукции, С], млн. руб. Приведенные затраты, млн. руб.\r\n1 400 70 70 + 0,15 х 400 = 130\r\nII 450 61 61 + 0,15 х 450 = 128,0\r\nIII 500 52 52 + 0,15 х 500 = 127\r\nИсходя из нормативной минимально допустимой отдачи на вложенные 2 средства в размере 15%, предприятие предпочтет вариант III, как обладающий минимольными приведенными затратами.

Указанные в этом разделе определения ограничиваются общей конструкцией расчетных формул, которая в каждом конкретном случае уточняется в зависимости от параметров проекта и характеристик внешней среды: динамики процентных ставок, темпов инфляции и т. д.

Так, полагая ставку наращения 1 = 0, мы придем к показателям, которые игнорируют действие фактора времени, но тем не менее они позволяют получить удобные для ручного счета грубые оценки эффективности.

(П + А)1ок - К = 0, где А - амортизационные отчисления в расчете на год. \r\n

По сравнению с расчетом, учитывающим время, эта оценка занижает величину срока, необходимого для окупаемости инвестиций.

Пример. Рассмотрим инвестиционный процесс, которому соответствует поток платежей, изображенный на рис. 9.

и, следовательно, даст величину, вдвое большую (1ок = 2).

При рассмотрении основанных на дисконтировании показателей эффективности инвестиций мы нигде специально не оговаривали, как поступать с относимой к себестоимости амортизацией. Вместе с тем согласно введенному в начале п. 2.2 понятию чистого дохода Е, можно понять, что амортизационные взносы из выручки не вычитаются. Отсюда, например, следует, что в случае прямых инвестиций величина Е, должна превышать размер прибыли на сумму амортизационных отчислений, то есть

Е( = П( + А,.

Формулы измерителей эффективности легко переписываются на более общий случай переменных ставок сравнения. Так, если значение ставки альтернативного вложения, скажем, нормы внутрифирменной прибыли, изменялось каждый год, то, например, показатель рентабельности (19) примет вид: \r\n \r\nгде к - последний год, в котором были сделаны инвестиции по данному проекту; п - год окончания получения доходов.

В условиях инфляции с годовым темпом г при оценке эффективности проекта необходимо учитывать фактор обесценивания денежною потока 1 = 1,1} Это можно сделать с помощью корректировки платежей Я, к их реальному значению:

Я,* = Я,(1 + г)-\'

или, что равносильно, заменяя ставку приведения \\ на скорректирован-ную ставку 1):

1 + \\* = (1 + 0(1 + г).

При первом способе эффективности оцениваются по скорректированному потоку {Я(*> и ставке сравнения 1; для второго варианта расчет производится с использованием номинальных значений {Я,}, но по скорректированной С1авке Г.

При изменяющихся темпах ежегодной инфляции {Г|} учет обесценивания денег производится аналогично формуле (21). Например, реальные (скорректированные) значения членов потока доходов и расходов рас-считываются по формуле:

К,

-

(1 + г,)(1 + г2)...(1 + г,)

Пример. Освоение производства. Применение введенных здесь формул проиллюстрируем в терминах инвестиционных затрат предприятия на освоение производства новой продукции. Этап наложивания выпуска новых изделий сопряжен с дополнительными издержками и сопровождается падением прибыли. Это, в частности, вызвано перераспределением ресурсов в пользу новшества, что на первых порах не компенсирует снижение прибыли в "консервативном" производстве.

Однако за временным горизонтом освоения новая продукция становится экономически выгодной, общая прибыль предприятия возрастает и превышает исходный уровень. Вместе с тем период ее снижения порождает целый ряд трудностей, в том числе возможную нехватку средств на покрытие постоянных затрат: на содержание предприятия, строховку, заработную плату адми- нистративно-управленческому персоналу (постоянные расходы) и т. п. Для простоты рассмотрения отмеченную закономерность представим трехступенчатым графиком (рис. 10). \r\n

Здесь первая, вторая и третья ступени отвечают соответственно ис-ходному уровню прибыли, ее падению на стадии освоения и приращению после освоения. Очевидно, что этап освоения (АО) нуждается во вложениях, компенсирующих его невыгодность. Требуемые для этого инвестиции позволят "дальновидному" предприятию бетбопетненно пережить этот период и выйти на повышенный уровень прибыли ЕО. Для оценки эффективности этих затрат воспользуемся принятыми в инвестиционном анализе показателями приведенного дохода (18), рентабельности (19), срока окупаемости вложений и внутренней доходности проекта.

Обозначим период освоения АО через Т. Пусть Д- и Д+ есть перепады прибыли: АВ - потери и ЕО - превышение. Суть рассматриваемого мероприятия заключается в том, чтобы за счет нововведения получить прирост прибыли, что соответственно требует дополнительных затрат Д Т на этапе внедрения.

Изобразим двустороннюю последовательность платежей по данному проекту в виде следующей графической схемы: \r\n

Чистым приведенный доход (Ш):

и-*; V1 ~

Рентабельность (и):

и АУ о-у1")

Д- 0 - уг) \'

Срок окупаемости (1ок) находится из формулы: д , _ д + ... + г» , _ д*. ( - .

V 1-V ; I 1-7 ]

Уравнение для отыскания внутренней нормы доходности (чв) имеет вид:

.т/1 ~ Л1"

т \\ /1 „I- \\

Д+г|

1-Г) р-г1 ;

где: л = С + Яв)"1-

Применим эти формулы для частного случая Т = 1, Ь »1, у1-» 0: период отдачи Ь существенно превышает единичный период освоения И величиной у1- можно пренебречь. Подставив эти значения в предыдущие формулы, найдем:

1 ДЧ

Д+

а уравнения для определения срока окупаемости и внутренней нормы доходности имеют вид:

-(|-у,л)=А-; А- (1 - Г!> - Л+л,

и 1 ^

откуда у "1-"ГГ; Чв = — • Д Д

Таким образом, принятие или непринятие проекта сводится к анализу следующих условий целесообразности:

V/ > 0, и > 1, %->1- 1

Пример. Аренда оборудования. Частным случаем производственного инвестирования является аренда оборудования, где в качестве инвестиционных затрот выступают арендные платежи. Изменения их размеров по-разному сказываются на выигрышах участников: однонаправленно для того, кто сдает в аренду, и в противофазе для того, кто арендует. \r\n

У каждого, в общем случае, имеется несколько альтернативных возможностей и среди них - один наиболее эффективный вориант. Предположим, Д что для владельца оборудования - это его продажа, а для потенциального

7 арендатора - покупка предполагаемого объекта аренды.

Обозначим переменной Я величину годовой арендной платы, а функции выигрышей арендодателя и арендатора запишем как Ф(Я), ф(Я). Уровни выигрыша по альтернативным сделкам: продажи для собственника и купли для соискателя - обозначим соответственно через ф* и ц>*.

В принятых обозначениях критерии целесообразности аренды по сравнению с конкурирующими вариантами примут вид следующей системы неравенств относительно Я:

ГФ(Я) а (р * - сдать в аренду выгоднее, чем продать;

44R) а Ф * - арендовать выгоднее, чем купить.

Чтобы решить задачу об аренде, перейдем от "буквенного" описания неравенств-ограничений к соответствующей им нормативной модели.

Начнем с дилеммы владельца, который выбирает из двух возможностей: продать по цене Р или сдать в аренду с платежом Я. В случае аренды его доход определяется арендными взносами " и остаточной стоимостью оборудования которое возвращается по истечении срока аренды п. Платежи Я составляют простую годовую ренту с текущей стоимостью

А(Я) = Яха(п,]),

где а(п, - коэффициент приведения, зависящий от срока п и цены капитала ] по известной нам формуле:

Уточним, что здесь в качестве цены капитала имеется в виду норма прибыли, которую получает собственник оборудования от его использования. В свою очередь, остаточная стоимость S меняется в соответствии с нормой амортизации h, действующей как ставка простого процента:

S = Р(1 - nh).

Таким образом, результирующая всех доходов от сдачи в аренду, приведенная к точке отсчета, составляет величину:

Ф(Я) = R х a(n, j) + S(1 + j)"n,

а ее сравнение с ценой продажи Р приводит к следующему условию выгодности для арендодателя:

R х a(n, j) + S( I + j)-n г p.

Теперь оценим сделку с точки зрения арендатора. Логично считать, что результаты эксплуатации оборудования не зависят от его "происхож- денпя", то есть одинаковы как для арендуемого оборудования, так и для купленного. Поэтому предпочтительность будет определяться на основе сравнения затрат на аренду с иеной покупки Р с учетом нормы прибыли арендатора \\. При этом естественно считать, что оборудование уходит к тому, кто его эффективнее эксплуатирует, иначе говоря, 1 > Тогда современная величина арендных платежей есть Я х а(п, 0, а современная величина потерь, связанных с покупкой, есть Р - Б(1 + П~п. Поэтому условие выгодности для арендатора (второе неравенство системы) запишется в виде:

Я X а(п, 1) 5 Р - Б(1 + 1)-".

Из критерия целесообразности для владельца получим нижний предел расценки:

к Р-5(1 + 1)-" а(М

В свою очередь, рассматривая второе неравенство, найдем верхний предел для арендатора

Р-8(1 + 1)""

к = . —.

а(п,1)

Очевидно, что если

^Н 4 Я.,

то есть платежный минимум, который все еще устраивает арендодателя не превышает максимума, который готов уплатить арендующий, то задача определения размера платы за аренду оборудования разрешима и

Для владельца оборудования важно обеспечить нужный уровень эффективности сдачи оборудования в аренду, в частности доходность должна быть больше нормы амортизации. Предположим, что годовой арендный платеж есть Я* (Ян * Я* * Яв). Тогда норма доходности аренды я рассчитывается из уравнения:

И*а(п, ц) = Р - Б(1 + я)-".

Ясно, что внутренняя норма доходности я должна быть больше нормы амортизации й. Разность я - И в некоторой мере характеризует эффективность сделки, которая заведомо обеспечивает необходимые амортизационные отчисления (я > И).