Первообразная
Предыдущие разделы были посвящены одной мЯ основных задач дифференциального исчисления — нахождению произволний заданной функции. Однако еще больше приложении о разнообразных науках приводят к другой згідаче: по данной функции /(х) найти такую функцию F( г), п|шнзводнад которой равна функции fix).
Опредсченис 1. Функция F(а) называется первообразной для функции f (.г) на промежутке X, если для любого х t X функция F (class="lazyload" data-src="/files/uch_group28/uch_pgroup23/uch_uch635/image/224.gif">
Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших игегралов назыьается непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах. [1]
Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ьвегти новую переменную t - sin х. Тогда 1 - siir.v= 1 - I2, dt = cos x dx подстановка в интеграл дает
Здесь использован табличный интеграл X.
![]() 3. Интегрирование по частям Теорема 7.2. Пусть функции и (л‘; и г1 (.г) определены и дифферент! руеми н?1 промежутке V и функция и\' ф ) и (.г) имеет первообразную на том п ром ежу ■ ке. Тогда функция и (л) 1? (.г) Еакже имеет пёрвооб- разиу/Ь на и рем ежу I ке X. причем а фа 11едл и на ф( шму да |
| С учетом нида дифференциала функции г1\' (г) т/д - г/г и я\' (л) г/т = (}и ра центы (7.3) часто используют в форме ![]()
|
Равенство (7.3) (или (7.4)) называется формулой иит три рта ли я по чйс тям.
В интегрирован пи но частям самым сложным пунктом является выбор в подынтегральном выражении сомножителя г’ (т) (іх=(к.
Иол знак дифференциала с/можно, и при ним не. внести все что утешно. Однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (7.3) был бы проще исходного. В атом смысле метод интегрирования по частям і юане л я от свести ннтегржп | н с/г к шптгржпу |а 11и, вычисление- которого ДОЛЖНО бьЕТ ь более простым.
А Рациональная функция т ьт г и ст,л .1 Рассмотрим интеграл пила
Универсальная подстановка приведет адесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной, В зависимости от четности тип упогробимы трн следующих варианта:
а) т — четное, п — нечетное; подстановка Г = siп л~
б) т — нечетное, и — четное; подстановка г = cos к;
в) т и и — оба нечетные; любая из двух подстановок, а или 6
г) тип — оба четные; понизить степени тригонометрических функций н в полученной сумме проанализировать каждое слагаемое по этим пунктам.
5. Рациональная функция от е‘ Интеграл вида
7.2.1.
