Дифференцирование сложной функции
Теорема 5.3. Пусть функция _г = ф (Г) имеет производную в точке 4, а функция г/-/(л) имеет производную в соответствующей точке
В теореме 5 3 рассмотрена суперпозиция двух функции, гзависит от ( через промежуточную переменную .т.
Возможна н более сложная зависимость с двумя и более промежуточными переменными, однако правило дифференцирования сложной функции ос гнется тем же Например, если у = (.с), лг = ф (н). и = ч/ (С), то производная у \' (() вычнеля- етея по формуле
 |
Рассмотрим иескотько примеров на дифференцирование сложной функции.
Пример 1. Найти производную функцию у = (дг).
 |
Решение. Эту функцию можно представить через промежуточную переменную и как и = Ш м. и = зг. Тогда но фоомуле (5.7) имеем:
Пример 2. Найти производную функцию
| class="lazyload" data-src="/files/uch_group28/uch_pgroup23/uch_uch635/image/185.jpg"> |
Решение. Здесь функция представляется г помощью трех промежуточных переменных: у = с", ы = с2, е = те, ге = 4д. Применяя правило (5.8) дифференцирования сложной функции. последовательно получаем:
Пример 3. Найти угол наклона к оси Од касательной к графику функции у - е 11111\' + їй 1г в точке дт = 0.
 |
Данная функция является суммой двух сложных функции, представляемых через промежуточные пер мениые как
 |
Поскольку тангенс угла наклона касате гьнон к оси Од- при д = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него х= 0:
от куда ф = агс^ 1 = 45°.
5.2.1.