Задачи

Вопросы:

Чему равна цена игры?

Какая фирма наиболее предпочтительна для профсоюза?

Какой набор руководство компании считает наиболее «выгодным»?

Чему равна нижняя цена игры?

Задача 2. Известный актер обдумывает, где бы ему провести в текущем году отпуск. Он рассматривает шесть возможных вариантов: Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ). Единственный критерий для выбора места отдыха — это стремление избежать встречи с журналистами, которые могут испортить ему отпуск. Если они «выследят» актера, отдых будет испорчен (полезность равна 0). В противном случае все будет, как запланировано (полезность равна 1). Журналисты могут обнаружить актера с такой вероятностью: в Монте-Карло — 0,34; на Гавайских островах — 0,12; на Багамских островах — 0,16; на Канарских островах — 0,4; в Сочи — 0,5; на озере Байкал — 0,2.

Опишите данную ситуацию как игру двух лиц с нулевой суммой (актер — игрок 1).

Вопросы:

Чему равна максимальная ожидаемая полезность отпуска актера?

С какой вероятностью актер поедет в отпуск на Байкал?

Чему равна верхняя цена игры?

В каком из мест наиболее вероятно будет отдыхать актер?

Задача 3. На «Диком Западе» имела место следующая ситуация. Группа из пяти индейцев взяла в осаду лагерь, охраняемый четырьмя белыми. У лагеря два входа: E1 и Е2. Разведчик белых установил, что перед входом Е1 находится как минимум один индеец, а перед входом Е2 — как минимум два индейца. Остальное распределение неизвестно. Командир осажденных может себя и остальных трех человек распределить по E1 и Е2, причем у каждого входа должен быть как минимум один человек. Предполагается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа берет в плен всю группу противника без собственных потерь, в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом потерь нет с обеих сторон. В качестве платежа (выигрыша) выступает разность числа пленных.

Определите все чистые стратегии обоих противников. Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 обороняющуюся сторону. Редуцируйте матрицу, насколько это возможно, и найдите оптимальные стратегии сторон.

Вопросы:

С какой частотой белым следует использовать стратегию: расположить по два человека у каждого входа?

Кто больше в среднем захватит пленных — белые или индейцы?

Какова абсолютная величина разности числа захваченных обеими сторонами пленных?

С какой частотой белым следует использовать стратегию:

расположить у первого входа одного, а у второго — трех человек?

С какой частотой индейцам следует использовать стратегию:

расположить у первого входа трех, а у второго — двух воинов?

Задача 4. Имеются два предприятия, которые в дополнение к основной продукции могут выпускать побочную продукцию одного и того же назначения — пластмассовые игрушки. Известно, что они могут продавать ее в одном и том же городе.

Пусть т = 4, п = 5, N= 300 000, цена (равновесная) одной игрушки составляет 20 руб., элементы матрицы {Гу}4)5 представлены в таблице:\r\nИгрушки предприятия 2

Игрушки предприятия 1 Вг By В4 Л\r\nА 0,2 0,7 0,4 0,8 0,3\r\n 0,8 0,5 0,1 0,3 0,7\r\n 0,4 0,6 0,9 0,5 0,6\r\nл. 0,7 0,3 0,5 0,3 0,5\r\nСформулируйте игру двух лиц, считая игроком 1 первое предприятие. Определите выигрыш (доход от продажи) каждого предприятия.

Вопросы:

Каков общий средний доход первого предприятия?

Каков общий средний доход второго предприятия?

Какое изделие следует выпускать первому предприятию с наибольшей вероятностью?

Какое изделие следует выпускать второму предприятию с наибольшей вероятностью?

Какова частота применения стратегии «Выпускать изделие В2»?

Задача 5. Сторона В посылает подводную лодку в один из п регионов. Сторона А, располагая т противолодочными кораблями, стремится обнаружить лодку противника. Сторона B стремится этого избежать. Вероятность обнаружения подводной лодки в j-м регионе одним противолодочным кораблем равнаpj (j = 1,..., n).

Предполагается, что обнаружение лодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона А может посылать в различные регионы разное количество кораблей (распределение т кораблей по регионам и есть ее стратегия).

Пусть т = 3, п = 2, р1 = 0,4, р2 = 0,6.

Считая сторону А игроком 1, построите игру и найдите оптимальное распределение противолодочных кораблей по регионам.

Вопросы:

Каков средний выигрыш стороны А?

С какой частотой стороне А следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля?

С какой частотой стороне А следует посылать в регион 1 один противолодочный корабль?

С какой частотой стороне В следует посылать подводную лодку в регион 2?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 5, 3—2, 4 — 4, 5—2, 6—3, 7 — 3, 8—4, 9—2, 10—2. Задача 1.

Модель линейного программирования и решение представлены в следующей таблице:\r\nMinimize 1 1 1 1 1 1 \r\nConstraint 1 2,3 4,2 1,2 4,2 3,2 1,7 >= 1 7.84E-02\r\nConstraint 2 4,3 2,2 3,7 1,7 3,2 4,2 >= 1 0\r\nConstraint 3 3,3 2,7 2,7 2,2 2,9 2,5 >= 1 -0,248\r\nConstraint 4 2,8 4,2 5,2 1,4 2,2 3,2 >= 1 0\r\nConstraint 5 5,2 2,2 1,2 2,9 6,2 4,7 >= 1 0\r\nConstraint 6 2,9 \'3,7 1,7 3,2 2,4 2,7 >= 1 0\r\nConstraint 7 3,3 2,7 3,7 1,2 1,7 2 >= 1 0\r\nSolution 0,196 0,131 0 0 0 0 0,327 \r\nЦена игры v = 1/(0,196 + 0,131) = 3,06. Вероятности выбора фирм Р = (0,6; 0,4; 0; 0; 0; 0). Вероятности выбора наборов Q = (0,24; 0; 0,76; 0; 0; 0; 0). Ответы: 1. 3,06. 2. Фь 3. B3 4. 2,3. Задача 2. Решение.

Матрица игры и решение задачи линейного программирования представлены в следующей таблице:\r\n MK г Б К С ОБ \r\nMinimize 1 1 1 1 1 1 \r\nMK 0,66 1 1 1 1 1 >= 1 -0,11\r\nГ 1 0,88 1 1 1 1 >= 1 -0,32\r\nБ 1 1 0,84 1 1 1 >= 1 -0,24\r\nК 1 1 1 0,6 1 1 >= 1 —9.6Е-02\r\nС 1 1 1 1 0,5 1 >= 1 -7.7Е-02\r\nОБ 1 1 1 1 1 0,8 >= 1 -0,19\r\nSolution 0,11 0,32 0,24 0,096 0,077 0,19 1,04 \r\nЦена игры равна 0,96. Частоты использования игроком 1 своих стратегий Р = (0,11; 0,32; 0,24; 0,096; 0,077; 0,19).

Ответы: 1. 0,96. 2. 0,19. 3. 1. 4. На Гавайских островах. Задача 3. Решение.

Матрица игры имеет вид \r\nСтратегии ^"--^индейцев Страте ги осажденных (1,2) (1,3) (1,4) (2, 2) (2, 3) (3, 2)\r\n(1, О -1 -1 -1 -2 -2 -2\r\n(1,2) 0 -2 -2 -1 -3 -1\r\n(1,3) 2 0 -3 1 -1 1\r\n(2, 1) 0 0 0 -1 -1 -3\r\n(2, 2) 1 -1 -1 0 -2 -2\r\n(3, 1) 0 0 0 1 1 -1\r\nПосле исключения доминируемых стратегий матрица примет вид

\r\nСтратегии (1,4) (3,2)\r\nиндейцев \r\nСтрате ги и \r\nосажденных \r\n(1,3) -3 1\r\n(3, 1) 0 -1\r\n

После приведения данной матрицы к положительно определенной, решив задачу, получаем: цена исходной игры равна 0, т.е. белые, даже применяя оптимальную стратегию, теряют на одного человека больше (здесь имеет смысл округлить цену игры до ближайшего целого). Другими словами, индейцы берут в плен на одного человека больше.

Оптимальная смешанная стратегия белых: с частотой 0,2 применять стратегию (1, 3) и с частотой 0,8 — стратегию (3, 1).

Ответы: 1.0. 2. Индейцы. 3.1. 4.0,2. 5.0,6.

Задача 4. Решение.

Данная игра — это игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой. Сумма выигрышей обоих игроков при любых сочетаниях стратегий предприятий равна 6 (все числа в матрице выигрышей даны в миллионах). Сведем ее к игре двух лиц с нулевой суммой. Для этого до игры каждому предприятию выплачивается половина постоянной суммы, т.е. 3, а из выигрыша каждого предприятия (из элементов матрицы) вычитается 3. Полученная матрица соответствует игре с нулевой суммой, поэтому достаточно указать в ней только выигрыши одного (первого) предприятия. После необходимых расчетов матрица игры имеет вид\r\nИгрушки ^^ предприятия 2 Игрушки v. предприятия 1 Л \r\nА, -1,8 1,2 -0,6 1,8 -1,2\r\n 1,8 0 -2,4 -1,2 1,2\r\nЛз -0,6 0,6 2,4 0 0,6\r\nА4 1,2 -1,2 0 -1,2 0\r\nПрибавим к матрице число 3, чтобы все ее элементы были положительными. Матрица задачи и решение показаны в следующей таблице:

\r\nMinimize 1 1 1 I \r\nCtr 1 1,2 4,8 2,4 4,2 >= 1 -0,146\r\nCtr 2 4,2 3 3,6 1,8 >= 1 0\r\nCtr 3 2,4 0,6 5,4 3 >= і -0,034\r\nCtr 4 4,8 1,8 3 1,8 >= 1 -0,155\r\nCtr 5 1,8 , 4>2 3,6 3 >= 1 0\r\nSolution 0,08 0,12 0,14 0 0,34 \r\nЦена преобразованной игры равна 1/0,34 = 2,94.

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1 (частоты использования игроком 1 своих стратегий) Р = (0,23; 0,36; 0,41; 0).

Для игрока 2 оптимальная смешанная стратегия Q = (0,43; 0; 0,1; 0,47; 0). Цена исходной игры с нулевой суммой равна —0,06. Поскольку оба игрока получили по 3 млн руб., общий доход первого предприятия составляет 2,94 млн руб., доход второго предприятия равен 3,06 млн руб.

Ответы: 1. 2,94 млн руб. 2. 3,06 млн руб. 3. Изделие А3 4. Изделие В4 5. Частота применения стратегии «Выпускать изделие В2» равна нулю.

Задача 5. Решение.

Стратегии игрока 2: I — послать подводную лодку в регион 1; II — послать подводную лодку в регион 2.

Вероятность обнаружить подводную лодку в регионе j с помощью к противолодочных кораблей равна (1 - (1 - Pj)k). Предположим, что выигрыш игрока 1 равен единице в случае обнаружения подводной лодки и нулю — в противном случае. Тогда матрица игры имеет вид

\r\n"—-^Стратегии игрока 2 Стратегии игрока 1 —^^ I II\r\n(0, 3) 0 0,784\r\n(1,2) 0,6 0,64\r\n(2, 1) 0,84 0,4\r\n(3,0) 0,936 0\r\nЭлементы матрицы — средние выигрыши игрока 1 в соответствующих ситуациях. Модель линейного программирования и решение (элементы матрицы увеличены на 1):

\r\nMinimize 1 1 1 1 \r\nCtr 1 1 1,6 1,84 1,936 >= 1 -0,31\r\nCtr 2 1,784 1,64 1,4 1 >= 1 -0,31\r\nSolution 0 0,566 0,051 0 0,62 \r\nЦена игры равна 1/0,62 = 1,61. Цена первоначальной игры равна 1,61 - 1 = =0,61.

Частоты применения стороной А своих стратегий Р = (0; 0,92; 0,08; 0). Сторона В посылает подводную лодку в оба региона с равной вероятностью (0,31-1,61 = 0,5).

Ответы: 1. 0,61, т.е. средний выигрыш равен цене игры.

Стороне А не следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля.

С частотой 0,92.

С частотой 0,5.