МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Рассмотрим понятие дифференциала.
Пусть Ax - произвольное приращение независимой переменной (фактора), которое уже не зависит от x . Это приращение называется дифференциалом независимой переменной и обозначается знаком Ax или dx.Дифференциалом функции называется произведение её производной на дифференциал независимой переменной [47, 9i, i00]. Дифференциал функции у = f (x) обозначают символом dy или df (x):
dy = df (x) = f\'(x)dx.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у = f (x) в данной точке, когда x получает приращение dx .
В случае функции нескольких переменных, например z = f (x, у), используется понятие полного дифференциала, представляющего собой сумму частных дифференциалов, каждый из которых равен произведению ча-стной производной по заданной независимой переменной на дифференциал этой переменной:
dz dz
dz = — dx + dy.
dx dy
При этом дифференциал есть главная часть приращения функции, а именно:
dz y dz , ( \\ , 2 2 ^
Az = f (x + Ax, у + Ay) - f (x, y) = — dx + dy + o dx + dy
dx dy V 0
В методе дифференциального исчисления влияние факторов x и y на изменение z определяется следующим образом:
dz
Ax =— dx = fx(x, y) •Ax,
ox dz
Ay = oydy=fy(x, У ) ^Ay •
Таким образом, поскольку производная, то есть скорость изменения функции, соответствует степени воздействия независимой переменной на исследуемую функцию, то, фиксируя последовательно все переменные, кроме одной, можно получить частные производные и, как следствие, оценить степень воздействия каждой переменной на итоговую функцию [140]. Такой приём называется элиминированием (см.
формулу (2.4)).При условии, что значения приращений факторов сопоставимы, фактор, частная производная которого по абсолютной величине выше, оказывает большее влияние на результат. Знак частной производной указывает на характер этого влияния - положительная частная производная характеризует прямую зависимость, то есть с увеличением фактора происходит увеличение результирующего показателя, а отрицательная частная производная указывает на обратный характер зависимости, то есть с увеличением фактора результирующий параметр уменьшается.
Следует отметить, что точность дифференциального метода существенным образом зависит от величины изменения влияющих факторов. Чем меньше приращения факторов, тем выше точность оценки влияния факторов на результирующий показатель.
Этот факт объясняется тем, что дифференциал и приращение функции имеют общий предел при стремлении приращений факторов к нулю. Неразложимый остаток, который в данном методе интерпретируется как логическая ошибка, в этом случае просто отбрасывается.
Однако в технике, экономике и других областях деятельности человека можно легко найти примеры моделей с приращениями, которые не являются бесконечно малыми или, на практике, «достаточно малыми». Так, в условиях современной экономики значения изменений многих показателей не являются малыми. В этих случаях может оказаться весьма значительной погрешность использования дифференциала для оценки приращения пока-зателя.
В связи с этим и проявляется главный недостаток применения метода дифференциального исчисления для расчётов, в которых, как правило,
требуется точный баланс изменения результирующего показателя и алгеб-раической суммы влияния всех факторов.