Статические детерминированные модели управления запасами
Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t).
Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени Q равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(t) =b. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:
b= N/ Q (13)
Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t) = 0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t) = n, где n — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время:
(14)
Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии и, т.е. J(0) = n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рисунке.
На временном интервале [0, 7] уровень запаса уменьшается по прямой J(t) = n-bt от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т (рисунок 1).
Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.
Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса — через С1, затраты на хранение запаса — через С2 и найдем эти величины за весь промежуток времени Т.
Рисунок 1 - Графически уровень запаса в зависимости от времени
С С=С1+С2
С0 С2=
с2nQ
С0 C1=
0 n0 n
Рисунок 2 - График функций затрат
Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны C1, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — C2.
Так как за время Q необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий равно:
(15)
Отсюда получаем:
(16)
Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны c2J(t). Значит, за промежуток времени [О, Т] они составят:
или:
.
Средний запас за промежуток [О, Т] равен 
, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.
Учитывая периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени Q будет 
«зубцов», аналогичных рассмотренному n на отрезке [О, Т]), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени Q равны:
(17)
Нетрудно заметить, что затраты C1 обратно пропорциональны, а затраты C2 прямо пропорциональны объему партии n. Функция суммарных затрат:
(18)
В точке минимума функции С(n) ее производная 
, откуда:
(19)
или:
(20)
Формула (20), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С1С2 = 0,5c1c2.NQ есть величина постоянная, не зависящая от n.
В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т. е. С1 = С2 или:
(21)
Из (21) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты:
(22)
откуда, получим 
или:
(23)
Число оптимальных партий за время Q равно:
(24)
Время расхода оптимальной партии на основании равно:
(25)
Или:
(26)
На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального n0. Так, может оказаться удобным заказывать различные партии и возникает вопрос, как при этом изменятся суммарные затраты.
Для ответа на этот вопрос разложим функцию С(n) в ряд Тейлора в окрестности точки nо, ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии ∆n:
Учитывая, что при n = nо С\'(n0) = 0, 
а Со = С(nо) найдем:
или:
(27)
Формула 27 свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.
2 Статическая детерминированная модель c дефицитом
В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, но потребление запаса отсутствует b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рисунке 5. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рисунке 4 характеризует накопление дефицита.
Из рисунка 5 видно, что каждый период "пилы" разбивается на два временных интервала, т. е. Т = Т1 + Т2, где Т1 — время, в течение которого производится потребление запаса, Т2 — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.
Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n - s, накопившегося за время Т2 (рисунок 3).
Из геометрических соображений легко установить, что:
, 
(28)
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 на штраф из-за дефицита, т.е. C = C1 + C2 + C3.
J
s b b b b
n
0 T 2T 3T 4T t
n-s
 |
T1 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2
Q
Рисунок 3 - График изменения уровня запаса.
Затраты С1, находим как и ранее. При исследовании статистических детерминированных моделей без дефицита было показано, что затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен
; поэтому эти затраты составят:
(29)
При расчете затрат Сз будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени Cз на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т2 равен (n-s)T2/2, то штраф за этот период Т2 составит с3(n - s)T2, а за весь период Q:
(30)
или:
(31)
Нетрудно заметить, что при n = s формула (30) совпадает с ранее полученной (29) в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (30) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n, s) на экстремум. Приравнивая частные производные δС/δn, δC/δs к нулю, получим после преобразований систему уравнений:
 |
(32)
Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии nо и максимального уровня запаса S0 для модели с дефицитом:
(33)
(34)
Величина:
(35)
называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами.
Заметим, что О < р < 1. Если значение сз мало по сравнению с с2 то величина р близка к нулю: когда сз значительно превосходит с2, то р близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 = ∞ или р = 1.Используя (35), основные формулы (33) и (34) можно записать компактнее:
(36)
(37)
Следует учесть, что в силу Т1/Т=S0/n0=p и 
. Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна р, означает, что в течение (1-р) 100% времени от полного периода Т запас продукта будет отсутствовать.
Из сравнения формул следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением:
(38)
откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 
раз), чем в задаче без дефицита. 3 Стохастические модели управления запасами
Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной работы ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.
Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей ф(r) (обычно функции р(r) и ф(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат c2 на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с3 на единицу продукции.
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.
В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения p(r), математическое ожидание суммарных затрат, учитывая только расходы на неиспользованные единицы продукта имеет вид:
(39)
В выражении первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при r 
s), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при r > s).
В случае непрерывного случайного спроса (учитывая только расходы на неиспользованные единицы продукта), задаваемого плотностью вероятностей ф(r), выражение C(s) принимает вид:
(40)
Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (41) или (42) принимает минимальное значение.
При дискретном случайном спросе r выражение (39) минимально при запасе s0, удовлетворяющем неравенствам:
F(s0) < р < F(s0 + l) (41)
а при непрерывном случайном спросе r выражение (40) минимально при значении s0, определяемом из уравнения:
F(s0) = p (42)
где: F(s) = p(r < s) (43)
есть функция распределения спроса г, F(s0) и F(s0 + l) — ее значения; р — плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (45).
F(S)
1
Q
 | ||
 | ||
0 S0 S
Рисунок 4 - Оптимальный запас при непрерывном спросе
Оптимальный запас s0 при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически (рисунок 4).
В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рисунке 5).
J J
 |
s-r
s s
class="lazyload" data-src="/files/uch_group36/uch_pgroup77/uch_uch599/image/231.gif"> r
r
T
0 T t 0 r-s t
T1 T2
a b
Рисунок 5 - Модель непрерывного расходования запаса с одинаковой интенсивностью
Рисунок 5 соответствует случаю г < s, когда спрос не превосходит запаса, а рисунок 5б — случаю, когда спрос превышает запас, т.е. г > s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рисунке 5, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.
Средний запас, соответствующий рисунку 5а, равен:
(44)
Средний запас, соответствующий рисунке 5б с учетом формулы (45), в которой полагаем n = r, составляет:
(46)
Средний дефицит продукта за период Ti для случая, соответствующего рисунок 5б, где n = г, равен:
(47)
Математическое ожидание суммарных затрат составит:
(48)
Доказано что в этом случае математическое ожидание (48) минимально при запасе S0, удовлетворяющем неравенству:
, (49)
где р по-прежнему определяется по формуле:
, (50)
L(S0) И L(S0 + 1) — значения функции (50), a F(s) находится в соответствии с определением (43).
В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.
Пусть за время задержек поставок Q уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = Q/n. Обозначим:
sнз — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);
si — запас за i-й период;
гi — спрос за i -й период;
qi — пополнение запаса за i -й период.
Тогда к концу n-го периода на склад поступит 
единиц продукта, а будет израсходовано 
, единиц, т.е.
(51)
или:
Sn=S - r, (52)
Где:
(53)
(54)
Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.
Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (39), а оптимальный запас s находится по формуле (41), т.е.
F(so)А