Статические детерминированные модели управления запасами

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t).

b= N/ Q (13)

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t) = 0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t) = n, где n — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время:

(14)

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии и, т.е. J(0) = n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рисунке.

На временном интервале [0, 7] уровень запаса уменьшается по прямой J(t) = n-bt от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т (рисунок 1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса — через С1, затраты на хранение запаса — через С2 и найдем эти величины за весь промежуток времени Т.

Рисунок 1 - Графически уровень запаса в зависимости от времени

С С=С1+С2

С0 С2=с2nQ

С0 C1=

0 n0 n

Рисунок 2 - График функций затрат

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны C1, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — C2.

(15)

Отсюда получаем:

(16)

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны c2J(t). Значит, за промежуток времени [О, Т] они составят:

или:

.

Средний запас за промежуток [О, Т] равен , т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени Q будет «зубцов», аналогичных рассмотренному n на отрезке [О, Т]), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени Q равны:

(17)

Нетрудно заметить, что затраты C1 обратно пропорциональны, а затраты C2 прямо пропорциональны объему партии n. Функция суммарных затрат:

(18)

В точке минимума функции С(n) ее производная , откуда:

(19)

или:

(20)

Формула (20), называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение С1С2 = 0,5c1c2.NQ есть величина постоянная, не зависящая от n.

(21)

Из (21) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты:

(22)

откуда, получим или:

(23)

Число оптимальных партий за время Q равно:

(24)

Время расхода оптимальной партии на основании равно:

(25)

Или:

(26)

На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального n0. Так, может оказаться удобным заказывать различные партии и возникает вопрос, как при этом изменятся суммарные затраты.

Для ответа на этот вопрос разложим функцию С(n) в ряд Тейлора в окрестности точки nо, ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии ∆n:

Учитывая, что при n = nо С\'(n0) = 0, а Со = С(nо) найдем:

или:

(27)

Формула 27 свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.

В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t) = b, но потребление запаса отсутствует b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рисунке 5. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рисунке 4 характеризует накопление дефицита.

Из рисунка 5 видно, что каждый период "пилы" разбивается на два временных интервала, т. е. Т = Т1 + Т2, где Т1 — время, в течение которого производится потребление запаса, Т2 — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n - s, накопившегося за время Т2 (рисунок 3).

Из геометрических соображений легко установить, что:

, (28)

В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 на штраф из-за дефицита, т.е. C = C1 + C2 + C3.

J

s b b b b

n

0 T 2T 3T 4T t

n-s

T1 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2

Q

Рисунок 3 - График изменения уровня запаса.

Затраты С1, находим как и ранее. При исследовании статистических детерминированных моделей без дефицита было показано, что затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен; поэтому эти затраты составят:

(29)

При расчете затрат Сз будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени Cз на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т2 равен (n-s)T2/2, то штраф за этот период Т2 составит с3(n - s)T2, а за весь период Q:

(30)

или:

(31)

Нетрудно заметить, что при n = s формула (30) совпадает с ранее полученной (29) в модели без дефицита.

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (30) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n, s) на экстремум. Приравнивая частные производные δС/δn, δC/δs к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

(32)

Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии nо и максимального уровня запаса S0 для модели с дефицитом:

(33)

(34)

Величина:

(35)

называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами.

Используя (35), основные формулы (33) и (34) можно записать компактнее:

(36)

(37)

Следует учесть, что в силу Т1/Т=S0/n0=p и . Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна р, означает, что в течение (1-р) 100% времени от полного периода Т запас продукта будет отсутствовать.

Из сравнения формул следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением:

(38)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в раз), чем в задаче без дефицита. 3 Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем в рамках данной работы ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей ф(r) (обычно функции р(r) и ф(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат c2 на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с3 на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения p(r), математическое ожидание суммарных затрат, учитывая только расходы на неиспользованные единицы продукта имеет вид:

(39)

В выражении первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при r s), а второе слагаемое — штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при r > s).

В случае непрерывного случайного спроса (учитывая только расходы на неиспользованные единицы продукта), задаваемого плотностью вероятностей ф(r), выражение C(s) принимает вид:

(40)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (41) или (42) принимает минимальное значение.

При дискретном случайном спросе r выражение (39) минимально при запасе s0, удовлетворяющем неравенствам:

F(s0) < р < F(s0 + l) (41)

а при непрерывном случайном спросе r выражение (40) минимально при значении s0, определяемом из уравнения:

F(s0) = p (42)

где: F(s) = p(r < s) (43)

есть функция распределения спроса г, F(s0) и F(s0 + l) — ее значения; р — плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (45).

F(S)

1

Q

0 S0 S

Рисунок 4 - Оптимальный запас при непрерывном спросе

Оптимальный запас s0 при непрерывном спросе по данному значению р может быть найден и графически (рисунок 4).

В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рисунке 5).

J J

s-r

s s

class="lazyload" data-src="/files/uch_group36/uch_pgroup77/uch_uch599/image/231.gif"> r

r

T

0 T t 0 r-s t

T1 T2

a b

Рисунок 5 - Модель непрерывного расходования запаса с одинаковой интенсивностью

Рисунок 5 соответствует случаю г < s, когда спрос не превосходит запаса, а рисунок 5б — случаю, когда спрос превышает запас, т.е. г > s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рисунке 5, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

Средний запас, соответствующий рисунку 5а, равен:

(44)

Средний запас, соответствующий рисунке 5б с учетом формулы (45), в которой полагаем n = r, составляет:

(46)

Средний дефицит продукта за период Ti для случая, соответствующего рисунок 5б, где n = г, равен:

(47)

Математическое ожидание суммарных затрат составит:

(48)

Доказано что в этом случае математическое ожидание (48) минимально при запасе S0, удовлетворяющем неравенству:

, (49)

где р по-прежнему определяется по формуле:

, (50)

L(S0) И L(S0 + 1) — значения функции (50), a F(s) находится в соответствии с определением (43).

В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.

Пусть за время задержек поставок Q уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = Q/n. Обозначим:

sнз — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

si — запас за i-й период;

гi — спрос за i -й период;

qi — пополнение запаса за i -й период.

Тогда к концу n-го периода на склад поступит единиц продукта, а будет израсходовано , единиц, т.е.

(51)

или:

Sn=S - r, (52)

Где:

(53)

(54)

Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.

Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (39), а оптимальный запас s находится по формуле (41), т.е.

F(so)А 371576 395009 450938 Предприятие Б 47481 38503 30759 ПРОИЗВОДСТВО ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ, ВКЛЮЧАЯ НАПИТКИ 5629011 7264883 9774446 ТЕКСТИЛЬНОЕ И ШВЕЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО 690452 646302 630819 ПРОИЗВОДСТВО КОЖИ, ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОЖИ И ПРОИЗВОДСТВО ОБУВИ 18667 8424 1652 ОБРАБОТКА ДРЕВЕСИНЫ И ПРОИЗВОДСТВО ИЗДЕЛИЙ ИЗ ДЕРЕВА 75360 107104 48454 МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВОДСТВО И ПРОИЗВОДСТВО ГОТОВЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ 1850946 2864296 3332899 ПРОИЗВОДСТВО МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ, ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ (БЕЗ ПРОИЗВОДСТВА ОРУЖИЯ И БОЕПРИПАСОВ) 6946348 9184800 10697379 ПРОИЗВОДСТВО МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ (БЕЗ ПРОИЗВОДСТВА ОРУЖИЯ И БОЕПРИПАСОВ) 4556331 6032196 8002728 ПРОИЗВОДСТВО ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ И ОБОРУДОВАНИЯ 2390017 3152604 2694651 СТРОИТЕЛЬСТВО 3273942 3505279 3781095 Предприятие А 232741 298876 748191 Предприятие Б 3274 8009 3170 ОПТОВАЯ И РОЗНИЧНАЯ ТОРГОВЛЯ; РЕМОНТ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ, МОТОЦИКЛОВ, БЫТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ И ПРЕДМЕТОВ ЛИЧНОГО ПОЛЬЗОВАНИЯ 12899374 13230545 13522759 Предприятие А 31798 40953 52869 Предприятие Б 227749 295670 380219 ОПТОВАЯ ТОРГОВЛЯ, ВКЛЮЧАЯ ТОРГОВЛЮ ЧЕРЕЗ АГЕНТОВ, КРОМЕ ТОРГОВЛИ АВТОТРАНСПОРТНЫМИ СРЕДСТВАМИ И МОТОЦИКЛАМИ 6615301 8451142 6589070 РОЗНИЧНАЯ ТОРГОВЛЯ, КРОМЕ ТОРГОВЛИ АВТОТРАНСПОРТНЫМИ СРЕДСТВАМИ И МОТОЦИКЛАМИ; РЕМОНТ БЫТОВЫХ ИЗДЕЛИЙ И ПРЕДМЕТОВ ЛИЧНОГО ПОЛЬЗОВАНИЯ 5528901 3809388 6126911

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5