5. Оценка доходности и риска акций и паев взаимных фондов

Одна из характерных вероятностных моделей цены акции является модель винеровского случайного процесса с постоянными параметрами ц (коэффициент сноса, по смыслу - предельная курсовая доходность) и а (коэффикциент диффузии, по смыслу - стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности).

Щ - ^ + (51)

где 7(1:) - стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса 0 и коэффициентом диффузии 1.

В приращениях запись (5.1) приобретает вид

Лад = ц+0 (5.2)

БфЛТ ЛТ

Из (5.1) - (5.2) следует, что доходность, как мы ее понимаем, имеет нормальное распределение с матожиданием ц и среднеквадратическим отклонением а. Обозначим плотность этого распределения ф(г,ц,а), где г - расчетное значение доходности.

Однако, если пронаблюдать фактическое ценовое поведение акций и паев взаимных фондов, то мы увидим, что доходность этих активов не колеблется вокруг постоянной случайной величины, но образует динамический тренд. Поэтому винеровская модель в чистом виде применяется крайне редко и на временных интервалах малой длительности.

Применим соображения, которые мы выдвинули в главе 2 книги, для приведения винеровской модели к нечетко-множественному виду.

Пусть у нас есть квазистатистика доходностей (г1, ...%) мощности N и соответствующая ей гистограмма (У1,...,Ум) мощности М. Для этой квазистатистики мы подбираем двупараметрическое нормальное распределение, руководствуясь критерием правдоподобия

м V.

) = "Е (~Т - V°))2 ^ max, (5.3)

ы Аг

где Г! - отвечающее 1-му столбцу гистограммы расчетное значение доходности, Аг - уровень дискретизации гистограммы.

Задача (5.3) - это задача нелинейной оптимизации, которое имеет решение

Р0 = таХ(,,а) Р(М, О), (5.4)

причем ц0, а0 - аргументы максимума Б(ц,а), представляющие собой контрольную точку.

Выберем уровень отсечения Б1 < Б0 и признаем все вероятностные гипотезы правдоподобными, если соответствующий критерий правдоподобия лежит в диапазоне от до Е0. Тогда всем правдоподобным вероятностным гипотезам отвечает множество векторов К , которое в двумерном фазовом пространстве представляет собой выпуклую область с нелинейными границами.

Впишем в эту область прямоугольник максимальной площади, грани которого сориентированы параллельно фазовым осям. Тогда этот прямоугольник представляет собой усечение К и может быть описан набором интервальных диапазонов по каждой компоненте

К (Ц•min, Цтах5 ^тг^ ^тах) ^ К . (5.5)

Назовем К зоной предельного правдоподобия. Разумеется, контрольная точка попадает в эту зону , то есть выполняется

Цтт< Ц0 <Цтах, ^т1п < ^0 < ^тах (5.6)

что вытекает из унимодальности и гладкости функции правдоподобия.

Тогда мы можем рассматривать числа ц = (цт1п, ц0, цтах), ст = (ат1п, а0, атах) как треугольные нечеткие параметры плотности распределения ф(*), которая и сама в этом случае имеет вид нечеткой функции.

Рассмотрим пример.

Пример 5.1

По результатам наблюдений за ценной бумагой сформирована квазистатистика мощностью N=100 отсчетов, представленная в диапазоне -5 ^ +15 процентов годовых следующей гистограммой с уровнем дискретизации 2% годовых мощностью М=10 интервалов (таблица 5.1):

Таблица 5.1\r\nРасчетная Число попавших в Частота = п/№\r\nдоходность гь % интервал отсчетов \r\nгодовых (середина квазистатистики п \r\nинтервала) \r\n-4 5 0.05\r\n-2 2 0.02\r\n0 3 0.03\r\n2 8 0.08\r\n4 10 0.1\r\n6 20 0.2\r\n8 28 0.28\r\n10 19 0.19\r\n12 5 0.05\r\n14 0 0\r\n

Оценить параметры нормального распределения доходности. Решение

Решением задачи нелинейной оптимизации (5.3) является Бо = -0.0022 при ц0 = 7.55% годовых, а0 = 2.95% годовых. Зададимся уровнем отсечения Б1 = -0.004. В таблицу 5.2 сведены значения критерия правдоподобия, и в ней курсивом выделены значения, удовлетворяющие выбранному нами критерию правдоподобия.

Таблица 5.2

Р(^,ст) X 10000 при ст =\r\n 2 2.5 3 3.5 4\r\n6 -214 -120 -79 -66 -67\r\n6.5 -151 -76 -49 -45 -52\r\n7 -104 -46 -29 -32 -44\r\n7.5 -77 -31 -22 -29 -43\r\n8 -76 -34 -28 -36 -49\r\n8.5 -100 -56 -47 -52 -62\r\nВидно, что при данном уровне дискретизации параметров можно построить зону предельного правдоподобия двумя путями:

к\'\\ = (7.5,8.0; 2.5,3.5), К\'2 = (7.0,8.0; 3.0,3.5), (5.7)

причем контрольная точка попадает в оба эти прямоугольника. Точное же решение этой задачи, разумеется, единственное:

К" = (6.8,8.3; 2.3,3.8), (5.8)

и ^ = (6.8, 7.55, 8.3), ст = (2.3, 2.95, 3.8) - искомая нечеткая оценка параметров распределения.