Нечеткие классификаторы и матричные схемы агрегирования данных
Определим в качестве носителя лингвистической переменной отрезок вещественной оси [0,1]. Любые конечномерные отрезки вещественной оси могут быть сведены к отрезку [0,1] путем простого линейного преобразования, поэтому выделенный отрезок единичной длины носит универсальный характер и заслуживает отдельного термина.
Назовем носитель вида [0,1] 01- носителем.
Теперь введем лингвистическую переменную «Уровень показателя» с терм-множеством значений «Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень Высокий». Для описания подмножеств терм-множества введем систему из пяти соответствующих функций принадлежности трапециедального вида:
. (2.30.1)
. (2.30.2)
. (2.30.3)
. (2.30.4)
. (2.30.5)
Везде в (2.30) х – это 01–носитель. Построенные функции принадлежности приведены на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Система трапециевидных функций принадлежности на 01-носителе
Введем также набор нак называемых узловых точек aj = (0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9), которые являются, с одной стороны, абсциссами максимумов соответствующих функций принадлежности на 01-носителе, а, с другой стороны, равномерно отстоят друг от друга на 01-носителе и симметричны относительно узла 0.5.
Тогда введенную лигвистическую переменную «Уровень фактора», определенную на 01-носителе, в совокупности с набором узловых точек здесь и далее будем называть стандартным пятиуровневым нечетким 01-классификатором.
Сконструированный нечеткий классификатор имеет большое значение для дальнейшего изложения.
Его суть в том, что если о факторе неизвестно ничего, кроме того, что он может принимать любые значения в пределах 01-носителя (принцип равнопредпочтительности), а надо провести ассоциацию между качественной и количественной оценками фактора, то предложенный классификатор делает это с максимальной достоверностью. При этом сумма всех функций принадлежности для любого х равна единице, что указывает на непротиворечивость классификатора.
Если при распознавании уровня фактора эксперт располагает дополнительной информацией о поведении фактора (например, гистограммой), то классификация фактора в общем случае не будет иметь стандартного вида, потому что узловые точки классификации и соответствующие функции принадлежности будут лежать несимметрично на носителе соответствующего фактора.
Также, если существует набор из i=1..N отдельных факторов со своими текущими значениями xi, и каждому фактору сопоставлен свой пятиуровневый классификатор (необязательно стандартный, необязательно определенный на 01-носителе), то можно перейти от набора отдельных факторов к единому агрегированному фактору A_N, значение которого распознать впоследствии с помощью стандартного классификатора. Количественное же значение агрегированного фактора определяется по формуле двойной свертки:
, (2.31)
где aj – узловые точки стандартного классификатора, pi – вес i-го факторов в свертке, mij (xi) – значение функции принадлежности j-го качественного уровня относительно текущего значения i-го фактора. Далее показатель A_N может быть подвергнут распознаванию на основе стандартного нечеткого классификатора, по функциям принадлежности вида (2.30).
Из формулы (2.31) становится понятным назначение узловых точек в нечетком классификаторе. Эти точки выступают в качестве весов при агрегировании системы факторов на уровне их качественных состояний. Тем самым узловые точки осуществляют сведение набора нестандартных классификаторов (со своими нессиметрично расположенными узловыми точками) к единому классификатору стандартного вида, с одновременным переходом от набора нестандартных носителей отдельных факторов к стандартному 01-носителю.
Можно построить матрицу, где по строкам расположены факторы, а по столбцам – их качественные уровни. На пересечении строк и столбцов лежат значения функций принадлежности соответствующих качественных уровней. Дополним матрицу еще одним столбцом весов факторов в свертке pi и еще одной строкой с узловыми точками aj. Тогда для расчета агрегированного показателя A_N по (2.31) в полученной матрице собраны все необходимые исходные данные. Поэтому предлагаемую здесь схему агрегирования данных целесообразно назвать матричной.
Матричные схемы на основе пятиуровневых классификаторов уже давно и довольно успешно применяются для комплексной оценки уровня функционирования многофакторных систем, в том числе и финансовых (например, финансов корпорации). Об этом речь быдет идти в главах 3, 5 и 8 настоящей книги.
Все изложение данного параграфа базируется на пятиуровневом классификаторе. На самом же деле, уровней в классификаторе может быть произвольное число, и все определяется лишь удобством моделирования. Простейший классификатор – бинарный (хорошо-плохо, высоко-низко), но он представляется слишком грубым, т.к. не фиксирует характерного среднего положения, вокруг которого и группируется большинство количественных состояний в реальной жизни. Отвлеченнная аналогия: крайности жизни особенно выпукло наблюдаются с позиций мещанской середины (об этом «Степной Волк» Г.Гессе). Поэтому целесообразно говорить о стандартном трехуровневом нечетком 01-классификаторе (состояния Низкий, Средний, Высокий) с функциями принадлежности следующего вида (рис. 2.7):
Рис. 2.7. Трехуровневая 01-классификация
. (2.32.1)
. (2.32.2)
. (2.32.3)
Аналогично, матричная схема агрегирования данных на основе трехуровневых классификаторов базируется на формуле:
. (2.33)
Итак, изложение базовых формализмов теории нечетких множеств завершено. Посмотрим, чем все-таки они могут нам помочь.
I.