§ 2. Доходность портфеля

Ожидаемая доходность портфеля акций (или любых ценных бумаг) есть взвешенная средняя ожидаемой доходности индивидуальных акций, где весами служат доли инвестиций в каждую акцию от всей суммы, вложенной в портфель акций:

^l + *2X ^ + ~.

или              Rp

1=1

где Rp — доходность портфеля акций; ^ — доходность г-ой акции; й/ — доля инвестиций в г-акцию, причем              =1

r-і

Как следует из приведенной выше формулы, доходность портфеля акций будет зависеть от двух параметров: доходности индивидуальной акции и доли инвестиций в каждую акцию.

Предположим, что портфель формируется из двух акций А и В, доходности которых составляют Ra - 10%, Rb - 20%.

Доходность портфеля АВ будет зависеть от комбинаций долей инвестиций в каждую акцию (табл. 12.1).

Таблица 12.1

Доли акций А и В и доходность портфеля АВ (Rp)

Если портфель составлен только из одной акции А, то ожидаемая доходность составит 10%. По мере уменьшения доли акции А и увеличения доли акции В доходность портфеля возрастает.

Рис. 12.1. График доходности портфеля акций АВ

§ 3. Риск портфеля

Итак, мы установили, что ожидаемая доходность портфеля акций представляет собой взвешенную среднюю доходность акций, входящих в портфель. Однако задача формирования портфеля акций заключается в том, чтобы учесть не только значения доходности, но и степень риска входящих в портфель акций, которую, как было показано раньше, можно измерить с помощью стандартного отклонения. Продолжим наш пример с акциями А и В и вычислим стандартное отклонение портфеля из двух этих акций. Для вычисления имеется следующая информация об акциях А и В. Стандартные отклонения этих акций, рассчитанные по итогам предыдущих лет, составляют, соответственно, 10% и 60%. Предположим, что портфель состоит из 40% акций А и 60% акций В.

Первое, что можно предположить, это допустить, что стандартное отклонение доходности портфеля есть взвешенная средняя стандартных отклонений для индивидуальных акций;

10 х 0,4 + 60 х 0,6 - 40%.

Этот результат был бы правильным, если бы цены на акции и, соответственно, их доходности двигались в совершенно одинаковом направлении — при росте одной акции точно так же вела бы себя и другая акция. В действительности, как правило, дело обстоит иначе, поэтому риск портфеля не является взвешенной средней стандартного отклонения индивидуальных акций в портфеле. Для объяснения процедуры вычисления риска портфеля, состоящего из двух акций, составим следующую таблицу (рис. 12.2).

Рис. 12.2.

Дисперсия этого портфеля — это сумма значений величин всех четырех клеток. Чтобы заполнить верхнюю левую клетку, нужно взять произведение дисперсии акции А и квадрата доли инвестиций в акцию А. Аналогичным образом заполняется нижняя правая клетка, т. е. значения в этих клетках зависят от величины дисперсии акций А и В.

Запись в две другие клетки зависит от ковариации акций А и В. Ковариация может быть выражена как произведение стандартных отклонений двух акций и коэффициента корреляции;

lt;*ав =lt;^а^вхСогав,              (12.2)

где аЛ5 — ковариация акций А и В (CovAB)\\ (СогАВ) — коэффициент корреляции акций А и В.

Если в верхней левой и нижней правой клетках мы «взвешивали» дисперсию посредством квадрата долей инвестированных в соответствующие акции              то              в              оставшихся              двух              клетках,              когда

мы имеем дело с ковариацией, «весами» является произведение двух долей соответствующих акций (wA,ws).

Дисперсия портфеля АВ будет равна сумме слагаемых всех четырех клеток таблицы:

агр=с2х^+(т;х®;+2(а;іХ(їйх^х аgt;в хСоглв).

Что касается стандартного отклонения портфеля, то оно есть не что иное, как квадратный корень из дисперсии:

Как следует из приведенных выше формул, стандартное отклонение портфеля зависит от: величин стандартных отклонений, входящих в портфель акций, долей инвестиций в каждую акцию, и ковариаций (или коэффициентов корреляции) акций.

Коэффициенты корреляции двух акций отражают поведение этих акций. Если акции имеют свойство «двигаться» в одном направлении (т.е. если цена одной акции идет вверх, то растет курс и другой акции), то коэффициенты корреляции и ковариации позитивны. Если курсы акций двигаются в разных направлениях, то коэффициенты корреляции и ковариации негативны.

В приведенном выше примере был показан метод расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из двух акций. Однако этот метод применим для расчета стандартного отклонения любого портфеля. В таком случае нам необходимо заполнить таблицу с большим числом клеток (рис. 12.3).

12              3              N

1

2

3

N

Рис. 12.3. Ковариационная матрица для определения дисперсии портфеля

Каждая диагональная клетка содержит дисперсию, взвешенную на долю инвестиций в данную акцию, возведенную в квадрат (G j х W,2 \\ а каждая из других клеток содержит ковариацию между парой ценных бумаг, взвешенную на произведение долей инвестиций в каждую из акций рассматриваемой пары, т, е. Сту х да\