Оглавление
Введение... . , ... 11
Часть I. линейная алгебра и ее приложения................................... 13
Глава 1 Элементы линейной алгебры 14
1.1 Векторное пространство 14
11.1 Векторы и их свойства .
............... 141 1.2. Операции над векторами . . . 15
1.1.3. Скалярное произведение еекторон ................................................ 15
1.1.4 Линейная зависимость векторов . .16
1.1 5. Базис и ранг системы векторов 17
1.1.6. Разложение вектора по базису..................................................... 18
1.1.7. Разложение вектора в ортогональном базисе.............................. 18
1.2. Матрицы................................................................................................... .19
1.2.1. Понятие матрицы ... 19
1.2.2. Линейные операции над матрицами .20
1.2.3. Транспонирование матриц .............................................................. 21
1.2.4. Произведение матриц.................................................................... .22
1.2 5. Собственные значения и собственные векторы матрицы .... 25
1 2,6. Ранг матрицы ................... .......................................... . . .26
1.2.7. Понятие обратной матрицы........................................................... 26
1.3. Определители ... 27
1.3.1 Операции над определителями . . 27
1.3.2 Основные свойства определителей . . .28
1.3.3. Миноры и алгебраические дополнения..................... . .29
1.3.4 Ранг матрицы и системы векторов................................ 31
1 4. Системы линейных алгебраических уравнений ........ .32
1.4.1. Общий вид и свойства системы уравнений. ................................. 32
1.4.2. Матричная форма системы уравнений........................................... 33
1.5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
... 341.5.1. Метод обратной матрицы . 34
1.5.2. М“тод Крамера ... . . .35
15 3. Метод Гаусса . ..... .... .36
1.5.4, Вычисление обратной матрицы методом Гаусса ... 41
1.6. Однородные системы линейных уравнений............................................ 42
1.6.1. Решение системы однородных уравнений.................................... 42
1.6.2. Фундаментальная система решений.............................................. 43
1.6.3 Характеристическое уравнение. . 45
Упражнения..................................................................................... . . .47
Глава 2. Применение элементов линейной алгебры в экономике . 51
2.1. Использование алгебры матриц .... . . .... 51
2 2. Использование систем линейных уравнений . . 54
2.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики . . 55
2.3.1. Балансовые соотношения.............................................................. 56
2.3.2. Линейная модель многоотраслевой экономики , . . 57
2.3.3. Продуктивные модели Леонтьева 58
Упражнения ... . . 61
Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения ... .63
Глава 3 Множества вещественных чисел . . 64
3.1 Вещественные числа................................................................................ 64
3.1 1 Свойства вещественных чисел. . 64
3.1.2. Числовая прямая.......................... .... .65
3.1.3. Абсолютная величина числа . .... .67
3.2. Числовые последовательности. 67
3.2.1. Числовые последовательности и операции над ними . 67
3.2.2. Сходящиеся последовательности..................................................... 68
3.2.3 Основные свойства сходящихся последовательностей . . 70
3.2.4 Число е . .72
Упражнения.......................................................................................................... .73
Глава 4. Функции одной переменной . 75
4.1 Функциональная зависимость. ... .75
4.1.1. Основные понятия . ...... .75
4.1.2. Область определения функции , 77
4.2 Предел функции .78
4.2.1.
Предел функции в точке . . .784.2.2. Левый и правый пределы функции. . . . .79
4.2.3. Теоремы о пределах функций . . . 60
4.2.4. Два замечательных предела . .62
4.2.5. бесконечно малые и бесконечно большие функции . 83
4.3. Непрерывные функции............................................................................ .64
4 3.1 Непрерывность функции в точке ... .84
4.3.2 Непрерывность элементарных функций в точке . .65
4.3.3. Непрерывность функции на интервале и отрезке . . 86
4.3.4. Классификация точек разрыва функции . 86
4.3.5. Понятие сложной функции . .87
4.4. Элементы аналитической геометрии на плоскости . . .88
4.4.1. Линии первого порядка..................................................................... 88
4.4.2. Линии второго порядка. . 90
4.5. Приложения в экономике .... ..................... . . .93
4.5.1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия , . 93
4.5 2 Паутинная модель рынка ................ 94
Упражнения ........................................................................................ . 95
Глава 5 Основы дифференциального исчисления . .97
51. Дифференцирование .............. ......................................... .... 97
5.1.1. Понятие производной ... 97
5.1.2. Геометрический смысл производной................... 98
5.1.3. Физический смысл производной . 99
5.14 Правая и левая производные ............. .99
5.1.5 Уравнение касательной к графику функции в ранной точке. 100
5.1.6. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 100
5.1 7 Таблица производных простейших элементарных функций 101
5.1.8 Дифференцирование сложной функции . 101
5-2. Дифференциал функции............................................... .... 103
5.2 1. Определение и геометрический смысл дифференциала . . . 103
5.2 2. Приближенные вычисления С помощью дифференциала . 104
5.3 Понятие производной л-го порядка , ... 104
Упражнения.....................................................
. 106Глава 6. Приложения аппарата производных. 108
6.1. Раскрытие неопределенностей . . ..................... . . 108
6.1.1 Правило Политэля. . . . , . , 108
Ц\'
6.1.2. Неопределенность вида — . . ... . 109
СС
6.1.3. Другие виды неопределенностей.................................................. 109
6.2 Формула Шклорена............................ . 111
6.3. Исследование функций............................................................................ 113
6.3 1. Признак монотонности функции . . . 113
6.3.2 Точки локального экстремума......................................................... 114
6.3.3. Выпуклость и точка перегиба графика функции 115
6.3.4. Асимптоты графика функции................. . . 118
6.3.5. Схема исследования графика функции . .119
6.4. Применение в экономике............................... 122
6.4 1 Предельные показатели в микроэкономике. . 122
6.4.2 Эластичность экономических показателей 123
6.4.3. Максимизация прибыли. . 125
Упражнения .125
Глава 7. Интегралы................................................................................................. 127
7.1. Неопределенный интеграл. 127
7.1.1. Первообразная.............................................................................. 127
7.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла . . - . . 128
7.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов. . . .128
714 Основные методы интегрирования 130
7.2. Определенный интеграл......................... . 135
7.2.1. Определение определенного интеграла 135
7.2.2 Классы интегрируемых функций . . 136
7.2.3. Основные свойства определенного интеграла. . . 136
7.2.4. Основная формула интегрального исчисления . . 138
7.2.5. Основные правила интегрирования . . 139
7.2.6 Геометрические приложения определенного интеграла 141
7 2.7. Несобственные интегралы . . 144
Упражнении.......................... . - .147
Глава 8. Функции нескольких переменных 150
8.1.
Евклидовс пространство £"....................................................................... 1508.1.1. Евклидова плоскость и евклидово пространство .... .150
8.1.2 Понятие m-мерного евклидова пространства . ... 150
8,1.3. Множества точек евклидова пространства Ет, , ... 151
8.2 Понятие функции нескольких переменных. . . . 152
8.2.1 Некоторые виды функций нескольких переменных. 153
8 2 2. Пинии уровня. . ............................. ...................... .155
В.З. Частные производные функции нескольких переменных 156
8.3.1. Частные производные первого порядка................ ,156
8.3.2. Градиент, t . . . ............................................................... . . . .157
8.3.3. Цветные производные высших порядков ... ... 158
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных . 159
8.4 1 Необходимые условия локального экстремума . 159
8 4 2 Достаточные условий локального экстремума 161
8.5. Применение в задачах экономики. ... .162
8.5.1. Прибыль от производства разных видов продукции . 162
8.5.2. Максимизация прибыли производства однородной продукции 163
8.5.3. Метод наименьших квадратов .164
Упражнения........................................................................................................ 167
Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений . 169
9.1. Уравнения первого порядка . 169
9.1-1- Основные понятия ......................................................... . . 169
9.1.2 Уравнения с разделяющимися переменными ................................. 171
9.1.3. Неполные уравнения . .................................................... 173
9.1.4. Линейные уравнения первого порядка , . ... 173
9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка .175
9.2.1 Основные понятия ......................................................................... 175
9.2.2 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . ... 176
9.2.3. Линейное однородное уравнение.
. . 1769.2.4 Линейные неоднородные уравнения.................... 176
9.2.5. Задана Коши и краевая задача для уравнения второго
порядка ... , 179
Упражнения. 180
Часть N1. Элементы теории вероятностей и математической статистики 183 Глава 10. Основные положения теории вероятностей ... 184
10.1. Основные понятия теории вероятностей .... . . 184
10.1 1 Некоторые формулы комбинаторики . . . . 184
10.1 2. Виды случайных событий.................... ............................... 185
10.1.3. Понятие вероятности 185
10.2 Умножение вероятностей . . . . . .186
10.2.1. Произведение событий и условная вероятность. 186
10.2.2. Независимые события . . .................. .188
10.3 Обобщение умножения и сложения верон!ностей................................ 189
10.3.1. Сложение вероятностей совместных событий ... ........... 189
10.3.2. Формула полной вероятности . .190
10.3.3. Формулы Байеса.................... .... . .191
10.4 Схема независимых испытаний . ... 192
10.4.1. Формула Бернулли................ . . . . .192
10.4.2. Интегральная теорема Лапласа . ... 193
Упражнения. .......... .195
Глава 11. Случайные величины .... . 197
11.1. Дискретные случайные величины. 197
11.1.1. Табличный закон распределения 197
11.1.2. Биномиальное распределение. . . . , ... 198
11.1.3. Распределение Пуассона ... 199
11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин................... 200
11.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины . 200
11.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины . . 201
11.2.3. Среднее квадратическое отклонение. . 203
11.2.4. Коэффициент корреляции - . 204
11.2.5. Линейная регрессия............................................ . 205
11.3. Непрерывные случайные величины....................................................... 206
11.3.1. Функция и плотность распределения вероятности...................... 206
11.3.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин . 207
11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин................ 209
11.4.1. Равномерное распределение , ... 209
11.4.2. Нормальное распределение . . . . .210
11.4.3. Распределение Пирсона .... , . . 211
11.4 А Распределение Студента . . . 212
11.4.5. Распределение Фишера . .212
Упражнения.......................................................... . . 213
Глава 12. Элементы математической статистики . . . 215
121. Выборочный метод .... . 216
12 1.1. Выборки . 216
12.1.2 Способы отбора .217
12.1.3. Статистическое распределение выборки . . 218
12.1 4. Эмпирическая функция распределения 219
12.1.5. Полигон и гистограмма . . 220
12.2. Статистические оценки параметров распределения. . 222
12.2.1. Виды статистических оценок. . 222
12.2.2. Эмпирические моменты............................................................... 223
12.23 Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения . 224
12.2.4. Доверительный интервал. . . ................ .225
12.3. Статистические оценки статистических гипотез . . 226
12.3.1. Виды статистических гипотез ... 227
12.3.2. Общая схема проверки статистических гипотез . . 227
12.3.3. Типы статистических критериев проверки гипотез . . 228
Упражнения - 230
Часть IV. Математические методы в экономике....................... - 233
Глава 13. Методы расчета рисковых ситуаций в экономике . . - 234
13.1. Элементы теории игр.............................................................................. 234
13.1.1. Основные понятия и классификация. . 235
13 1.2. Формальное представление игр. . 236
13 1.3. Антагонистические игры.................................... . 238
13.1.4. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры . . 241
13.1.5. Позиционные игры. - 244
13.2. Рисковые ситуации ... . 246
13.2.1. Выбор с помощью дерева решений . 246
13.2-2. Мера риска . 249
13.3 Портфельный анализ .251
13.3.1 Формирование инвестиционного портфеля . 251
13 3 2 Доходность и риск портфеля . . 252
13.3 3. Диверсификация портфеля. . 254
13 3.4. Выбор оптимального портфеля , 255
Упражнения. ....................................................................................................... 256
Глава 14. Линейное программирование ■ 259
14.1. Графический метод ....... . 261
14.1.1. Алгоритм решения задачи......................................................... ЛП .261
14.1.2 Определение оптимального плана выпуска изделий ... 262
14 1.3. Экономический анализ задач , 264
14.2. Симплексный метод . . ... .267
14 2.1 Симплексные таблицы и алгоритм решения . 267
14 2.2. Применение симплексного метода в задача к Л! I 269
14.3. Двойственные задачи . . . 272
14 3 1, Виды математических моделей двойственных задач 272
14.3 2. Решение двойственны* задач . . 275
14 3 3. Экономический анализ задачи оптимального использования
ресурсов ..... . . . . 280
14.3.4. Применение теории двойственности в экономических
приложениях ...... . 282
14 4 Транспортная задача 286
14.4 1 Закрытая транспортная задача . 286
14.4.2. Открытая транспортная задача . 295
Упражнения 301
Глава 15. Элементы финансовой математики 313
151. Простые проценты..................... ... 314
15.1 1 Процентные ставки, формулы наращения 315
15.1.2. Дисконтирование и учет . 320
15.2. Сложные процен ты 325
15 2.1 Формулы наращения ... . . . 325
15 2.2. Номинальная и эффективная ставки процентов и их учет 328 15 2 3 Непрерывные проценты .. . 333
15.24 Расчет срока ссуды и процентных с1авок 334
15 3. Начисление процентов в условиях инфляции 336
15.3.1. Начисление по простым процентам 336
15.3.2 Начисление по сложным процентам . 337
15 4. Потоки платежей 339
15.4.1. Финансовые ренты .340
15^2 Формулы наращенной суммы 341
15 4 3 Формулы современной величины. . 344
15 4 Зависимость между современной величиной и наращенной
суммой ренты.......................................................................................... 345
15 г Некоторые приложения финансовой математики 347
15 5.1 Конверсия валюты и начисление грэцентов . 347
15.5.2 Погашение задолженности частями . 353
15.5.3 Переменная сумма счета и расчет процентов 356
15.54 Изменение условий кон гранта , 358
15.5.5. Модели операций с ценньми бумагами . . 359
Упражнения 366
1-1313
Часть V. Основы эконометрики................................................ . 373
Глава 16 Нелинейная регрессия и корреляция 375
16.1. Нелинейная регрессия . . 375
16-2. Нелинейная корреляция 381
Упражнения. . . 384
Глава 17. Множественная регрессия и корреляция . . 386
17.1 Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции 386
17.2 Отбор факторов и методы построения множественной
линейной корреляционной и регрессионной зависимостей. . 387
Упражнения. . . . ... . 399
Глава 18. Прогнозирование экономически* процессов . 402
18.1. Элементы временного рядэ . 402
18.1 1. Классификация экономических прогнозоа . 402
18.1.2. Виды временных рядов. . , 403
18.1.3. Требования к исходной информации. ........................................ 404
18.2. Основные показатели динамики экономических процессов . 409
18.2.1. Основные показатели динамики . 409
18.2.2. Сглаживание временных рядов ...... .412
18.3. Применение моделей кривых роста в экономическом
прогнозировании .... ... 417
18.3.1. Характеристики моделей кривых роста 417
18.3.2. Расчет доверительных интервалов прогноза. 424
18 3,3. Оценка адекватности модели . . 426
18 3.4. Характеристики точности модели . .428
Упражнения. . 430
Ответы к упражнениям. 434
ПРИЛОЖЕНИЯ , 445
Приложение 1 . . 446
Приложение 2 . 44В
Приложение 3 . 450
Приложение 4 452
Приложение 5 . . 453
Приложение 6 . 454
Приложение 7 . 456
Приложение 8 . 457
Приложение 9 . 458
Приложение 10 460
Список литературы . 461
Предметный указатель. .... . . 462