3.Метод потенциалов.

Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система n+m действительных чисел, и , , удовлетворяющих следующим условиям:

                              при                                (5)

при .                              (6)

Числа и называют потенциалами.

Группа равенств (5) используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет n+m неизвестных, и , .

Группа неравенств (6) используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:

, при .

Числа называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.

Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l,k), соответствующую . Если , то решение оптимальное. Если же  , то для соответствующей клетки (l,k) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз по этому циклу.

Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом:

1. Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е. , то необходимо ввести фиктивного (n+1)- го потребителя с запросами , равным разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза .

2. Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запросы поставщиков, т.е. , то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика с запасами , равными разности суммарных запросов потребителей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза .

3. При составлении начального опорного решения в последнюю очередь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.

Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов.

1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.
2. Построить начальное опорное решение (методом северо-западного угла или др. методом).
3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению.
4. Проверить выполнение условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам , и те из них, которые больше нуля записывают в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток , то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, т.к. полученное решение является оптимальным. Если же имеется, хотя бы одна клетка с положительной оценкой.
   Опорное решение не является оптимальным.
5. Перейти к новому опорному решению. На котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка . Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину . Клетка со знаком «-», в которой достигается , остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным m+n-1.
6. Далее перейти к п.3.

Пример.Решить транспортную задачу, исходные данные которой представлены в таблице:

1.Находим суммарные запасы поставщиков и суммарные запасы потребителей:        

.

Т.о. задача с неправильным балансом. Вводим четвертого, фиктивного поставщика с запасами и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза. Получаем следующую таблицу

2.Находим начальное опорное решение методом минимальной стоимости. Полученное решение имеет m+n-1=4+4-1=7 базисных переменных. Вычисляем значение целевой функции на этом опорном решении:

3.Для проверки оптимальности опорного решения необходимо найти потенциалы.

Пусть =0. Остальные потенциалы находятся однозначно:

-

.

Запасы потенциалов записывают в следующую таблицу.

Любой неизвестный потенциал, соответствующий занятой клетке, равен находящейся в этой клетке стоимости минус известный потенциал, соответствующий этой же клетке.

4.Проверяем опорное решение на оптимальность. С этой целью вычисляем оценки для всех незаполненных клеток таблицы (для всех занятых ):

, ,  ,

, .

Положительные записаны в левых нижних углах таблицы, вместо отрицательных стоит знак «-». Начальное опорное решение не является оптимальным, т.к. имеется положительная оценка .

5.Переходим к новому опорному решению. Для клетки (2, 4) с положительной оценкой строим цикл. Ставим в эту клетку «+», присоединяем ее к занятым клеткам и, применяя метод вычеркивания, находим цикл (2,4), (3,4), (3,2), (2,2). Цикл представлен в таблице. В угловых точках цикла расставляем поочередно знаки «+» и «-», начиная с клетки (2,4). В клетки, отмеченные знаком «+», добавляется груз , а из клеток со знаком «-», убавляется такой же по величине груз. Определяем величину , перераспределяемого по циклу. Она равна значению наименьшей из перевозок в клетках цикла, отмеченных знаком «-»:. Осуществляем сдвиг по циклу на величину .

Получаем второе опорное решение .

Находим для этого решения потенциалы (приведены в таблице) и вычисляем оценки:

, ,

  ,

, .

Все оценки неположительные, следовательно, решение является оптимальным. Значение целевой функции:

Ответ: min Z(X)=5200, при .