Задачи

На реализацию всех мероприятий завод может выделить трудовых ресурсов 1300 человекодней, финансовых — 10 млн руб., производственных площадей — 700 м2.

Определите мероприятия, которые следует провести, располагая этими ресурсами, с тем чтобы общий экономический эффект был максимальным.

Вопросы:

Каков максимальный экономический эффект от проведения мероприятий?

Какое количество мероприятий следует провести?

Задача 2. В текущем году заводу необходимо:

закупить два универсальных станка с ЧПУ общей стоимостью 200 тыс. руб. Для этого требуются трудовые ресурсы в объеме 250 человекодней и производственные площади 100 м2;

смонтировать транспортный конвейер стоимостью 100 тыс. руб. Необходимы трудовые ресурсы 190 человекодней и производственные площади 200 м2.

Для проведения этих мероприятий завод располагает финансовыми ресурсами 250 тыс. руб., трудовыми — 200 человекодней и производственными площадями 200 м2.

Недостаток средств и ресурсов можно компенсировать, проведя некоторые из следующих мероприятии:

внедрить новые резцы для обработки металла. Экономия трудозатрат — 130 человекодней, финансовые затраты — 50 тыс. руб.;

провести профилактический ремонт станочного парка.

внедрить систему контроля качества продукции. Экономия трудозатрат — 190 человекодней, затраты производственных площадей — 50 м2, прибыль — 5 тыс. руб.;

реализовать устаревшее оборудование. Трудозатраты — 60 человекодней, высвобождение производственных площадей — 200 м2, прибыль — 300 тыс. руб.;

провести инвентаризацию запасов материальных ресурсов. Трудозатраты — 20 человекодней, высвобождение производственных площадей — 150 м2.

Вопрос: Какое минимальное количество мероприятий следует провести, чтобы закупить станки с ЧПУ и смонтировать транспортный конвейер?

Задача 3. В Сибири работают четыре химических завода. Они участвуют в конкурсе на размещение госзаказа по производству изделий пяти наименований в следующем объеме:\r\nИзделие 1 2 3 4 5\r\nОбъем, шт. 350 250 400 150 150\r\nКаждый завод представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению

\r\n Варианты завода 1 Варианты завода 2 Варианты завода 3 Варианты завода 4\r\n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\r\nИзделие 1 100 200 200 50 80 — — 100 100 50\r\nИзделие 2 200 100 150 — - 200 250 100 40 60\r\nИзделие 3 300 250 250 120 100 100 50 50 60 100\r\nИзделие 4 100 50 100 100 50 — - - 50 —\r\nИзделие 5 50 100 80 — — 100 100 80 150 100\r\nОбъем финансирования, млн руб. 12 16 14 7 9 16 15 17 5 8\r\nВопросы:

Каковы минимальные затраты на выполнение заказа?

Следует ли реализовать вариант 2 завода 1?

Задача 4. Нефтеперерабатывающее предприятие использует в производстве нефть трех сортов. Резервные запасы нефти каждого сорта должны быть не меньше соответственно 20,40 и 60 тыс. т. Для хранения нефти могут быть использованы четыре резервуара вместимостью 25, 30, 35,40 тыс. т. Затраты на хранение 1 т нефти сорта 2 на 10% выше, чем затраты для нефти сорта 1, а для сорта 3 на 20% выше, чем для сорта 1. Смешение нефти разных сортов при хранении не допускается. Вопросы:

Сколько резервуаров следует использовать?

Нефть какого сорта следует хранить в резервуаре вместимостью 30 тыс.

Задача 5. Объединение кабельной промышленности состоит из трех заводов. Номенклатура выпускаемых изделий включает три позиции: кабель силовой, провод для осветительных установок и провод обмоточный. На трехлетний период планирования разработаны три варианта развития завода 1, два варианта развития завода 2 и один — завода 3. Производство кабельных изделий (в тыс. м) по годам приведено в следующей таблице:\r\n Кабель силовой Провод для ос-ветительных установок Провод обмо-точный Затраты на 3 года, млн руб.\r\n Год 1 Год 2 Год 3 Год 1 Год 2 Год 3 Год 1 Год 2 Год 3 \r\nВарианты завода 1 t 6,9 8,0 10,0 37 44 53 2,8 3,0 4,0 1557\r\n 2 7,0 7,0 8,6 25 — — 3,0 18,0 20,2 1399\r\n 3 7,0 7,8 8,7 30 — — 6,0 18,0 20,0 1034\r\nВарианты завода 2 4 19,2 23,0 28,0 — — — 12,8 15,0 18,0 2822\r\n 5 15,8 18,0 22,2 — — — 16,0 18,5 20,8 3044\r\nВарианты завода 3 6 — — — — 864 950 — — — • 364\r\nПотребность по годам, тыс. м 15 17 25 20 300 450 10 15 10 \r\nОпределите план выпуска продукции на трех заводах, обеспечивающий удовлетворение заданной потребности в кабельных изделиях с минимальными затратами.

Вопросы:

Каковы минимальные затраты?

Следует ли использовать вариант 3 для завода 1?

Задача 6. В последующие два года добыча угля К2 должна возрасти на 180 и 234 тыс. т соответственно, а угля СС — на 150 и 195 тыс. т. Для обеспечения роста добычи могут быть введены в действие три шахты. Для каждой из них разработаны два варианта добычи угля. Для первого года с момента ввода шахты данные по объемам добычи (тыс. т) приведены в следующей таблице:\r\n Шахта 1 Шахта 2 Шахта 3\r\n Вариант 1 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2\r\nК2 80 120 30 50 60 40\r\nСС 130 70 90 40 90 60\r\nЗатраты, тыс. руб. 100 120 50 40 70 50\r\nНа второй год с момента ввода:

на шахте 1 добыча угля К2 и СС выше по обоим вариантам на 10% при росте затрат на 10%;

на шахте 2 по первому варианту добыча К2 больше на 10%, а добыча СС меньше на 10% при неизменных затратах, по второму варианту добыча К2 меньше на 10%, а добыча СС больше на 10% при неизменных затратах;

на шахте 3 по обоим вариантам объем добычи и затраты те же, что и для первого года.

Любая шахта может быть введена как в первый, так и во второй год планового периода.

Составьте план ввода мощностей по добыче угля, обеспечивающий выполнение плановых заданий с минимальными затратами.

Вопросы:

Каковы минимальные затраты?

Следует ли использовать вариант 1 развития шахты 2?

Задача 7. Для реконструкции машиностроительного предприятия было представлено 10 проектов, каждый из которых характеризуется четырьмя агрегированными показателями: затратами труда, энергии, материалов, денежных средств, а также ежегодной прибылью в случае реализации проекта. Соответствующие данные и объем имеющихся ресурсов приведены в таблице:

\r\nПроект 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ре-сурсы\r\nТруд, нормо- часы 50 60 30 40 80 70 50 20 40 50 300\r\nЭнергия, тыс. кВт-ч 4 4 2 5 5 2 3 6 6 3 24\r\nМатериалы, млн руб. 3 2 4 5 3 2 4 2 2 3 20\r\nДенежные средства, млн руб. 7 5 9 6 4 3 7 2 4 5 30\r\nПрибыль, млн руб. 9 8 8,5 8,8 9 8 9 8,7 8,9 8 \r\nПри выборе проектов необходимо учесть ряд ограничений технологического характера:

одновременно может быть реализовано не более семи проектов;

проекты 5 и 8 исключают друг друга;

проект 1 может быть реализован лишь при условии реализации проекта 2;

проект 4 может быть реализован лишь при условии реализации хотя бы одного из двух проектов: либо проекта 3, либо проекта 10.

Вопросы:

Какова максимальная прибыль?

Следует ли реализовывать проект 3?

Задача 8. Имеются одинаковые заготовки, которые могут быть раскроены тремя способами и из которых могут быть получены не менее 10 деталей первого типоразмера, не менее 8 деталей второго типоразмера и не менее 10 деталей третьего типоразмера.

Способы раскроя представлены в следующей матрице:

А =

где atj — количество деталей типоразмера i, получаемое из одной заготовки путем ее раскроя способом j. Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом, должно быть целым и не превышать 4. Отходы

от одной заготовки для каждого из способов раскроя составляют соответственно 4,5 и 5 см.

Сколько заготовок должно быть раскроено вторым способом?

Чему равны минимальные суммарные отходы?

Ответы и решения Ответы на вопросы: 1 — 4, 2 — 4, 3 — 5, 4 — 4. Задача 1. Решение.\r\nObjective type MAX\r\n VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 \r\nOBJ COEFF 13 000 3000 8000 12 000 2500 15 000 \r\nCONSTR 1 350 250 100 200 130 800 <= 1300\r\nCONSTR 2 400 90 60 300 0 500 <= 10 000\r\nCONSTR 3 130 0 300 150 150 100 <= 700\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTIMAL SOLUTION 0 0 1 1 1 1 37 500\r\nОтветы: 1. 37 500 тыс. руб. 2. Четыре мероприятия. Задача 2. Решение.

Если преследуется цель минимизации количества дополнительных работ, то модель будет иметь вид (затраты со знаком минус):

\r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 VAR 7 \r\nOBJ COEFF 0 0 1 1 1 1 1 \r\nCONSTR 1 -200 -100 -50 20 5 300 0 >= -250\r\nCONSTR 2 -250 -190 130 -10 190 -60 -20 >= -200\r\nCONSTR 3 -100 -200 0 0 -50 200 150 >= -200\r\nCONSTR 4 1 0 0 0 0 0 0 = 1\r\nCONSTR 5 0 1 0 0 0 0 0 = 1\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTIMAL SOLUTION 1 1 1 0 1 1 0 3\r\nОтвет: Три мероприятия. Задача 3. Решение.\r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 VAR 7 VAR 8 VAR 9 VAR 10 \r\nOBJ COEFF 12 16 14 7 9 16 15 17 5 8 \r\nCTR 1 100 200 200 50 80 0 0 100 100 50 >= 350\r\nCTR 2 200 100 150 0 0 200 250 100 40 60 >= 250\r\nCTR3 300 250 250 120 100 100 50 50 60 100 >= 400\r\nCTR 4 100 50 100 100 50 0 0 0 50 0 >= 150\r\nCTR 5 50 100 80 0 0 100 100 80 150 100 >= 150\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTI-MAL SOLU-TION 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 27\r\nОтветы: 1. 27 млн руб. 2. Нет, не следует. Задача 4. Решение.

Пусть VAR 1 равен единице, если первый сорт нефти находится в первом резервуаре, и нулю в противном случае и т.д. Введем следующие обозначения: \r\n^^^Резервуар 1 2 3 4\r\nСорт \r\n1 VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4\r\n2 VAR 5 VAR 6 VAR 7 VAR 8\r\n3 VAR 9 VAR 10 VAR 11 VAR 12\r\nПри минимизации затрат на хранение полученное решение будет иметь вид

\r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 VAR

7 VAR 8 VAR 9 VAR 10 VAR 11 VAR 12 \r\nOBJ COEFF 1 1 1 1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,2 \r\nCTR 1 25 30 35 40 0 0 0 0 0 0 0 0 >= 20\r\nCTR 2 0 0 0 0 25 30 35 40 0 0 0 0 >= 40\r\nCTR 3 0 0 0 0 0 0 0 0 25 30 35 40 >= 60\r\nCTR 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 = 1\r\nCTR 5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 1\r\nCTR 6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 1\r\nCTR 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTI-MAL SOLU-TION 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 4,5\r\nОтветы: 1.

Задача 5. Решение.

Производственное объединение выпускает три продукта:

кабель силовой;

провод для осветительных установок;

провод обмоточный.

На каждый год трехлетнего периода установлено задание по объему производства каждого из этих продуктов. Таким образом, в модель следует ввести девять ограничений по объему выпуска.

Производственное задание может быть выполнено, если будут реализованы наилучшие варианты развития всех предприятий, входящих в объединение. Первый завод, по условию, имеет три варианта развития, второй — два, третий — один. Всего вариантов шесть, но каждый завод должен выбрать только один из своих вариантов. Таким образом, в модели следует учесть еще три ограничения.

В результате получаем модель с двенадцатью ограничениями и шестью переменными.

Целевая функция — минимизация затрат на выполнение задания по объему производства.

В следующей таблице представлены структурные модели и решение задачи: \r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR 2 VAR3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 \r\nOBJ COEFF 1557 1399 1034 2822 3044 364 \r\nCONSTR 1 6,9 7,0 7,0 19,2 15,8 0 >= 15\r\nCONSTR 2 8,0 7,0 7,8 23,0 18,0 0 >= 17\r\nCONSTR 3 10,0 8,6 8,7 28,0 22,2 0 >= 25\r\nCONSTR 4 37 25 30 0 0 0 >= 20\r\nCONSTR 5 44 0 0 0 0 864 >= 300\r\nCONSTR 6 53 0 0 0 0 950 >= 450\r\nCONSTR 7 2,8 3,0 6,0 12,8 16,0 0 >= 10\r\nCONSTR 8 3,0 18,0 18,0 15,0 18,5 0 >= 15\r\nCONSTR 9 4,0 20,2 20,0 18,0 20,8 0 >= 10\r\nCONSTR 10 1 1 1 0 0 0 = 1\r\nCONSTR 11 0 0 0 1 1 0 = 1\r\nCONSTR 12 0 0 0 0 0 1 = 1\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTIMAL SOLUTION 0 0 1 1 0 1 4220\r\nОтветы: 1. 4220 млн руб. 2. Да, следует.

Задача 6. Решение.

Обозначения:\r\nПервая шахта По первому варианту Ввод в первый год VAR 1\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR2\r\n Ввод во второй год VAR3\r\n По второму варианту Ввод в первый год VAR4\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR5\r\n Ввод во второй год VAR6\r\nВторая шахта По первому варианту Ввод в первый год VAR7\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR8\r\n Ввод во второй год VAR9\r\n По второму варианту Ввод в первый год VAR 10\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR 11\r\n Ввод во второй год VAR 12\r\nТретья шахта По первому варианту Ввод в первый год VAR 13\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR 14\r\n Ввод во второй год VAR 15\r\n По второму варианту Ввод в первый год VAR 16\r\n Продолжение работы шахты, введенной в первый год VAR 17\r\n Ввод во второй год VAR 18\r\nВ таблице на с. 407 представлены структура модели и решение задачи. Ответы: 1. 432 тыс. руб. 2. Нет, не следует. \r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR

2 VAR

3 VAR 4 VAR

5 VAR 6 VAR

7 VAR 8 VAR

9 VAR 10 VAR 11 VAR 12 VAR 13 VAR 14 VAR 15 VAR 16 VAR 17 VAR 18 \r\nOBJ COEFF 100 110 100 120 132 120 50 50 50 40 40 40 70 70 70 50 50 50 \r\nCTR 1 80 0 0 120 0 0 30 0 0 50 0 0 60 0 0 40 0 0 >= 180\r\nCTR 2 130 0 0 70 0 0 90 0 0 40 0 0 90 0 0 60 0 0 >= 150\r\nCTR 3 0 88 80 0 132 120 0 33 30 0 45 50 0 60 60 0 40 40 >= 234\r\nCTR 4 0 143 130 0 77 70 0 \'81 90 0 44 40 0 90 90 0 60 60 >= 195\r\nCTR 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦= 1\r\nCTR 6 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1\r\nCTR 7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1\r\nCTR 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 = 1\r\nCTR 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 = 1\r\nCTR 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 = 1\r\nVARBL TYPE 0-1. 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTIMAL SOLU-TION 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 432\r\nЗадача 7. Решение.\r\nObjective type MAX\r\n VAR 1 VAR 2 VAR

3 VAR 4 VAR 5 VAR 6 VAR

7 VAR 8 VAR 9 VAR 10 \r\nOBJ COEFF 9 8 8,5 8,8 9 8 9 8,7 8,9 8 \r\nCTR 1 50 60 30 40 80 70 50 20 40 50 <= 300\r\nCTR 2 4 4 2 5 5 2 3 6 6 3 <= 24\r\nCTR 3 3 2 4 5 3 2 4 2 2 3 <= 20\r\nCTR 4 7 5 9 6 4 3 7 2 4 5 <= 30\r\nCTR 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <= 7\r\nCTR 6 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 <= 1\r\nCTR 7 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0\r\nCTR 8 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 -1 <= 0\r\nVARBL TYPE 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 0-1 \r\nOPTI-MAL SOLU-TION 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 51,1\r\nОтветы: 1. 51,1 млн руб. 2. Да, следует. Задача 8. Решение.

\r\nObjective type MIN\r\n VAR 1 VAR 2 VAR 3 \r\nOBJ COEFF 4 5 5 \r\nCONSTR 1 2 1 3 >= 10\r\nCONSTR 2 2 2 1 >= 8\r\nCONSTR 3 1 3 0 >= 10\r\nCONSTR 4 1 0 0 <= 4\r\nCONSTR 5 0 1 0 <= 4\r\nCONSTR 6 0 0 1 <= 4\r\nOPTIMAL SOLUTION 4 2 0 26\r\nОтветы: 1. Две заготовки, 2. 26см.