Задачи

Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему следует отложить меньше чем 900 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования.

Данные для задачи финансового планирования представлены в следующей таблице:

\r\nВид вклада Срок вклада, месяцы Возможные моменты вложения (начало месяца) Процент по вкладу Индекс риска\r\nА 1 1,2, 3, 4, 5,6 1,7% 3\r\nВ 2 1,3,5 3,5% 10\r\nС 3 1,4 5,5% 7\r\nD 6 1 10,5% 9\r\nДля каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения минимального размера целевого фонда, позволяющего сделать необходимые выплаты.

Вопросы:

Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты без учета риска?

Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?

Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

Задача 2.

Составьте модель линейного программирования для определения максимального размера дохода, который может получить Василий Иванов через полгода, использовав имеющиеся у него возможности для вложения 50 тыс. руб.

Вопросы:

Каков максимальный размер дохода через полгода?

Какой максимальный доход можно получить через полгода от вложения одного рубля в начальный момент времени?

Какой максимальный размер дохода можно получить через полгода, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать б?

Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

В начале четвертого месяца Василий предполагает вложить еще 20 тыс. руб. На сколько возрастет его доход через полгода с учетом риска?

Задача 3. Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных фондов компании.

Проект 1 предполагает вложение денег в 2003 г., получение 30% по вкладу в 2004 г. и возврат вложенных средств (без процентов)

в 2005 г.

Проект 2 предполагает вложение денег в 2004 г., получение 30% по вкладу в 2005 г. и возврат вложенных средств (без процентов) в 2006 г.

Проект 3 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,75 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 4 предполагает вложение денег в 2005 г. и получение 1,4 руб. на один вложенный рубль в 2006 г.

Проект 5 предполагает вложение денег в 2003 г. и получение 1,2 руб. на один вложенный рубль в 2005 г.

Максимальная сумма, которая может быть вложена в любой проект, не должна превышать 10 млн руб.

Деньги, полученные в результате инвестиций в один проект, можно реинвестировать в другие проекты.

Компания также может получать 6% годовых по краткосрочному (на один год) банковскому вкладу.

максимизация дохода от инвестиций к 2006 г. Вопросы:

Какова максимальная сумма денег, которую можно получить в 2006 г.?

Какую сумму следует вложить во второй проект?

В каком году следует вложить деньги в банк под 6% годовых?

Какой максимальный доход можно получить в 2006 г., вложив 1 руб. в 2003 г.?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 1, 3—5. Задача 1. Решение.

Пусть у — размер целевого фонда. Аи Bi, Ci, Di — размеры вкладов вида А, В, С, D в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача может быть описана следующей моделью: Целевая функция у ® min при условиях у - А, - В, - С, - D, = 0, 1.017Л, - Л2 = 0,

1,017Л2 + 1,0355, - А, - В} = 200, 1,017А} + 1,055 С, - А4 - С4 = 0, 1,017Д, + 1,035Д3 - As - В5 = 0, 1,017^5-^ = 0,

1,017Л6 + 1,035В5 + 1,055 С4 + 1,105/), = 700.

Представим модель в более наглядной форме: \r\n У А\\ В\\ CI 01 А1 А.3 S3 М С4 AS BS М \r\nMinimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0\r\nНачало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700\r\nРешая эту задачу, получаем следующие результаты:

\r\n 1 А\\ «1 а DI АЇ ЛЗ ІЗ Л4 С4 Л5 «5 Л6 \r\nMinimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца! 1 -1 -1 -і -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,9»\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200 -0,966\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,948\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 -0,932\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 -0,916\r\nНачало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 -0,898\r\nSolution 822,154 0 193,238 628,917 0 0 0 0 0 663,507 0 0 0 822,154 \r\nСледующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nУ 822,154 0 1 0 Infinity\r\nА1 0 0 0 —6,87E—04 Infinity\r\nВ1 193,238 0 0 — 1,59E—03 6,87E—04\r\nС1 628,917 0 0 -1 1.60E-03\r\nDI 0 7,2 IE—03 0 -7,21 E-03 Infinity\r\nА2 0 6.76E-04 0 —6,76E—04 Infinity\r\nA3 0 2.20E-03 0 —2.20E-03 Infinity\r\nВЗ 0 1,54E—03 0 — 1,54E—03 Infinity\r\nА4 0 0 0 —2,16E-03 1,51 E-03\r\nС4 663,507 0 0 -Infinity 2,17E-03\r\nAS 0 0 0 —2,76E—03 Infinity\r\nВ5 0 2,12E—03 0 —2,12E—03 Infinity\r\nА6 0 2.72E-03 0 —2,72E—03 Infinity\r\nДалее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничении:\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nНачало месяца 1 -1 0 0 -822,154 Infinity\r\nНачало месяца 2 -0,983 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 3 -0,966 0 200 0 Infinity\r\nНачало месяца 4 -0,948 0 0 -663,507 Infinity\r\nНачало месяца 5 -0,932 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 6 -0,916 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 7 -0,898 0 700 0 Infinity\r\nОграничение, учитывающее риск по вкладам, сделанным в месяце 1, может быть записано следующим образом:

ЗА, + 105, + 7 С, + 9D, < 6(Л, + + С, + /),).

После преобразования система ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид:

-3/4, + 4В, +1С, + З Д, <0, -ЗАг + 45, +1С, + 3Z>, < 0, -ЗА} + Щ +1С, + ЗД, 2 0, —ЗЛ4 + 453 +1С4 + ЗХ>, < 0, -ЗЛ5 + 455+1С4 + ЗД,<0, -3А6 + 4BS +1С4 + 3Z>, < 0.

С учетом риска получаем модель с 13 переменными и 13 ограничениями: \r\n У А\\ ?1 С1 01 А1 A3 ЙЗ М я AS BS Л6 \r\nMinimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца ! 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0\r\nНачало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700\r\nРиск 1 0 -3 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0\r\nРиск 2 0 0 4 1 3 -3 0 0 0 0 0 0 0 <= 0\r\nРискЗ 0 0 0 1 3 0 -3 4 0 0 0 0 0 <= 0\r\nРиск 4 0 0 0 0 3 0 0 4 -3 1 0 0 0 <= 0\r\nРиск 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 -3 4 0 <= 0\r\nРиск 6 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 4 -3 <= 0\r\nРешая эту задачу, получаем следующие результаты:\r\n У А\\ В\\ С1 DI А2 A3 ВЗ М С4 -45 BS А6 \r\nMinimize I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,983\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,017 -1 -1 0 0 0 0 0 = 200 -0,967\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,055 0 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,949\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 = 0 -0,931\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 = 0 -0,915\r\nНачало месяца 7 0 0 0 0 1,105 0 0 0 0 1,055 0 1,035 1,017 = 700 -0,900\r\nРиск 1 0 -3 4 I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0 9Е-05\r\nРиск 2 0 0 4 1 3 -3 0 0 0 0 0 0 0 < 0 0\r\nРискЗ 0 0 0 1 3 0 -3 4 0 0 0 0 0 < 0 6Е-04\r\nРиск 4 0 0 0 0 3 0 0 4 -3 1 0 0 0 0 6Е-04\r\nРиск 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 -3 4 0 < 0 9Е-05\r\nРиск 6 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 4 -3 < 0 0\r\nSolution 823,152 266,2 80,5 476,3 0 270,7 158,7 0 166,0 498,0 67,6 1,2 170,4 823,1 \r\n

Границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nУ 823,152 0 1 0 Infinity\r\nА\\ 266,233 0 0 —6,87E—04 Infinity\r\nВ\\ 80,593 0 0 -4,51 E-03 6,87E—04\r\nС\\ 476,326 0 0 -1,322 2,58E—03\r\nТ 0 1,00Е—02 0 — 1,00E—02 Infinity\r\nА2 270,759 0 0 —6,75E—04 Infinity\r\nA3 158,775 0 0 —2,49E—03 Infinity\r\nОкончание таблицы\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nB3 0 8,04E—03 0 —8,04E—03 Infinity\r\n/14 166,000 0 0 —2,44E—03 Infinity\r\nC4 498,000 0 0 -1,275 2,45E—03\r\nA5 167,612 0 0 —6,40E—04 Infinity\r\nB5 1,210 0 0 —4,22E—03 6.40E-04\r\nA6 170,462 0 0 —6,29E—04 Infinity\r\nГраницы устойчивости по правым частям ограничений:\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nНачало месяца 1 -1 0 0 -823,152 Infinity\r\nНачало месяца 2 -0,983 0 0 -191,304 4,570\r\nНачало месяца 3 -0,967 0 200 5,444 Infinity\r\nНачало месяца 4 -0,949 0 0 -663,999 23 728,72\r\nНачало месяца 5 -0,931 0 0 -676,594 2,834\r\nНачало месяца 6 -0,915 0 0 -688,299 2,861\r\nНачало месяца 7 -0,900 0 700 0 25 715,27\r\nРиск 1 9,82Е—05 0 0 -564,317 13,480\r\nРиск 2 0 13,578 0 -13,578 Infinity\r\nРиск 3 6,28Е—04 0 0 -1958,698 578,841\r\nРиск 4 6,11Е—04 0 0 -1995,853 8,359\r\nРиск 5 9,14Е—05 0 0 -8,466 8,486\r\nРиск 6 0 8,548 0 -8,548 Infinity\r\nОтветы: 1. 822154 руб.

Решение.

Пусть z — размер дохода, Аи Eh СІ, Di — размеры вкладов соответствующего вида в i-м месяце. Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. Без учета риска задача может быть описана следующей моделью: Целевая функция z ® max при условиях

А, + 5, + DT = 50, 1,017A, - A2 - B2 = 0, 1,017Л2 + 1,0355, - A3 - C3 = 0, 1,017A3 + 1,03552 - A4 - C4 = 0, 1,017Д, - Л5 = 0, 1,017^5 + 1,065 C3 - A6 = 0, 1,017Л6 + 1,065C4 + 1,115.0, - г = 0.

Представим модель в более наглядной форме:\r\n г А\\ В1 DI А2 т A3 0 Ж С4 AS Ak \r\nMaximize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца 1 0 1 і 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 1,121\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 -1 -і 0 0 0 0 0 0 0 -1,102\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 0 = 0 -1,083\r\nНачало месяца 4 0 0 0 0 0 1,035 1,017 0 -1 -1 0 0 = 0 -1,065\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1,017 0 -1 0 = 0 -1,047\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 1,065 0 0 1,-017 -1 = 0 -1,017\r\nНачало месяца 7 -1 0 0 1,115 0 0 0 0 0 1,065 0 1,017 = 0 -1\r\nSolution 56,051 50 0 0 0 50,850 0 0 0 52,630 0 0 56,051 \r\nГраницы устойчивости по коэффициентам целевой функции:\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nz 56,051 0 1 0 Infinity\r\nA\\ 50 0 0 0 7.71E-04\r\nB\\ 0 0 0 —7,7 IE—04 0\r\nD\\ 0 0,121 0 —Infinity 0,121\r\nA2 0 7,57E—04 0 —Infinity 7,57E—04\r\nB2 50,850 0 0 0 0,014\r\nA3 0 0 0 —Infinity 0\r\nC3 0 0 0 —1,35E—02 0\r\nA4 0 0 0 -Infinity 1.31E-02\r\nC4 52,630 0 0 0 Infinity\r\nA5 0 1.29E-02 0 —Infinity 1.29E-02\r\nA6- 0 0 0 -Infinity 0\r\nГраницы устойчивости по правым частям ограничений: \r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nНачало месяца I 1,121 0 50 3,8 IE—06 Infinity\r\nНачало месяца 2 -1,102 0 0 -Infinity 50,85\r\nНачало месяца 3 -1,083 0 0 0 51,75\r\nНачало месяца 4 -1,065 0 0 -Infinity 52,63\r\nНачало месяца 5 -1,047 0 0 0 53,52\r\nНачало месяца 6 -1,017 0 0 0 55,11\r\nНачало месяца 7 -1 0 0 —Infinity 56,05\r\nСистема ограничений, учитывающих риск, имеет следующий вид: -ЗА, + ЗВ, — \\D, < О, -3А2 + 3В, + ЪВ2 - 1D, < О, —ЗА} + ЪВг + 2СЪ - \\D, < О, -3А4 + 2С} + 2С4 - ID, < О, -ЗА5 + 2 С3 + 2С4 — ID, <0, -3А6 + 2 С4 - ID, < 0.

С учетом риска получаем задачу с 12 переменными и 13 ограничениями.

Решая модифицированную задачу, получаем следующий результат:

\r\n 1 А\\ в\\ DI А1 вг АІ 0 М С4 AS М \r\nMaximize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 1,117\r\nНачало месяца 2 0 1,017 0 0 -1 -і 0 0 0 0 0 0 = 0 -1,098\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 1,017 0 -1 -1 0 0 0 0 = 0 -1,080\r\nНачало месяца 4 0 0 0 0 0 -1,035 -1,017 0 1 1 0 0 = 20 -1,061\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 .0 0 1,017 0 -1 0 = 0 -1,038\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 1,065 0 0 1,017 -1 = 0 -1,017\r\nНачало месяца 7 -1 0 0 1,115 0 0 0 0 0 1,065 0 1,017 = 0 -1\r\nРиск 1 0 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 0 0\r\nРиск 2 0 0 3 -1 -3 3 0 0 0 0 0 0 <= 0 0\r\nРискЗ 0 0 0 -1 0 3 -3 2 0 0 0 0 <= 0 0\r\nРиск 4 0 0 0 -1 0 0 0 2 -3 2 0 0 <= 0 1,96Е—03\r\nРиск 5 0 0 0 -1 0 0 0 2 0 2 -3 0 <= 0 0\r\nРиск 6 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 2 0 -3 <= 0 0\r\nSolution 77,07 0 3,257 46,743 0 0 0 3,371 0 20 0 3,590 77,07 \r\nОтветы: 1. 56051 руб.

Решение.

Пусть хь ...,Х5 — размер вклада в соответствующий проект, х6, хъ х8 — размер вклада в банк, а x9 — размер дохода.

Задача описывается с помощью модели линейного программирования: \r\n XI Х2 АЗ Х4 А\'5 Х6 XI А? А9 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \r\n2003 1 0 1 0 1 1 0 0 0 = 20\r\n2004 0,3 -1 0 0 0 1,06 -I 0 0 = 0\r\n2005 1 0,3 0 -1 1,2 0 1,06 -1 0 = 0\r\n2006 0 1 1,75 1,4 0 0 0 1,06 -1 = 0\r\nПроект 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 10\r\nПроект 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10\r\nПроект 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 10\r\nПроект 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 10\r\nПроект 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 10\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:

\r\n XI XI A3 Х4 Х5 Х6 XI Х8 Х9 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \r\n2003 1 0 1 0 1 1 0 0 0 = 20 1,4554\r\n2004 0,3 -1 0 0 0 1,06 -1 0 0 = 0 -1,318\r\n2005 1 0,3 0 -1 1,2 0 1,06 -1 0 = 0 -1,06\r\n2006 0 1 1,75 1,4 0 0 0 1,06 -1 = 0 -1\r\nПроект 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 0\r\nПроект 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 10 0\r\nПроект 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 10 0,2946\r\nПроект 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 10 0,34\r\nПроект 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 10 0\r\nSolution 10 3 10 10 0 0 0 0,9 35,45 35,45 \r\nОтветы: 1. 35,45 млн руб. 2. 3 млн руб. 3. В 2005 г. 4. 1,45 руб.