Задачи
пластмассовых коробок для хранения инструментов.
Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать — со стороной 20 см. На складе находится 100 листов материала. Вопросы:Сколько существует рациональных способов раскроя?
Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать для следующей партии коробок?
Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?
Задача 2. Существует три рациональных способа раскроя единицы материала А на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым из этих способов, показано в следующей таблице: \r\nЗаготовка Материал А Материал В\r\n Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5\r\n1 0 2 9 1 5\r\n2 4 3 2 5 4\r\n3 10 6 0 8 0\r\nЗаготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входят четыре заготовки первого типа, три заготовки второго типа и семь — третьего типа. На складе имеется 100 единиц материала А и 300 единиц материала В.
Вопросы:
Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?
Сколько единиц материала А следует раскраивать третьим способом?
Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?
Задача 3.
При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из них может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, количество деталей каждого вида, полученных из одного погонного метра ткани, указано в следующей таблице: \r\nДеталь Ткань 1 Ткань 2\r\n Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5 Способ 6\r\n1 8 0 4 12 0 6\r\n2 0 3 1 0 5 2\r\nТкани 1 поступает на фабрику в 2 раза больше (по длине), чем ткани 2. Количество готовых изделий должно быть максимальным.Вопросы:
Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?
Какая часть (в %) ткани 1 должна быть раскроена способом 1?
На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?
Задача 4. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.
Вопросы:
Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?
Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
Какова величина отходов (в см)?
Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?
5. На сколько при этом увеличатся отходы (в см)?
Задача 5. Завод заключил договор на поставку комплектов стержней длиной 18, 23 и 32 см. Причем количество стержней разной длины в комплекте должно быть в соотношении 1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?
Вопросы:
Сколько существует рациональных способов раскроя?
Сколько комплектов стержней будет выпущено?
Какова при этом величина отходов (в см)?
Ответы и решения
Ответы на вопросы: 1—5, 2 — 4, 3—3, 4—2, 5 — 1.
Задача 1.
Решение.Определим все рациональные способы раскроя прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см.
Получаем шесть рациональных способов раскроя: \r\nСпособ раскроя Количество заготовок со стороной\r\n 50 см 40 см 20 см\r\n1 2 0 0\r\n2 1 I 2\r\n3 1 0 6\r\n4 0 2 7\r\n5 0 1 11\r\n6 0 0 15\r\nПусть х1, ..., х6 — количество единиц материала, раскроенных соответствующим способом, х7 — количество изготовленных коробок. Тогда ответ на второй вопрос можно получить, используя следующую мод ел ь. \r\n XI XI ХІ Х4 Х5 Х6 XI \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nЗаготовка 50 см 2 1 1 0 0 0 -4 >= 0\r\nЗаготовка 40 см 0 1 0 2 1 0 -6 >= 0\r\nЗаготовка 20 см 0 2 6 7 11 15 -12 >= 0\r\nМатериал 1 1 1 1 1 1 0 <= 100\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:\r\n XI XI A3 Х4 Х5 Х6 XI \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nЗаготовка 50 см 2 1 1 0 0 0 -4 >= 0 -0,1\r\nЗаготовка 40 см 0 1 0 2 1 0 -6 >= 0 -0,1\r\nЗаготовка 20 см 0 2 6 7 И 15 -12 >= 0 0\r\nМатериал 1 1 1 1 1 1 0 <= 100 0,2\r\nSolution 0 80 0 20 0 0 20 20 \r\nОтсюда следует, что из 100 листов железа можно изготовить 20 ящиков. При этом следует использовать два способа раскроя.
Значение двойственной оценки показывает, что при увеличении количества материала на один лист
можно дополнительно изготовить 0,2 коробки. В следующей таблице приведены границы устойчивости:
\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Vai Lower Bound Upper Bound\r\nЗаготовка 50 см -0,1 0 0 -133,33 33,33\r\nЗаготовка 40 см -0,1 0 0 -18,75 200\r\nЗаготовка 20 см 0 60 0 —Infinity 60\r\nМатериал 0,2 0 100 0 Infinity\r\nУчитывая границы устойчивости по ограничению «материал», можно сделать вывод, что для
изготовления одной коробки требуется пять листов железа. Ответы: I. Шесть способов. 2. 20 коробок. 3. Два способа. 4. Пять листов.
Задача 2. Решение.
Заметим, что всего существует пять рациональных способов раскроя.
Пусть х1, ..., х5 — количество единиц материала, раскроенных соответствующим способом, х6 —\r\n XI XI A3 А"4 А"5 АГ6 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 1 \r\nЗаготовка 1 0 2 9 1 5 -4 >= 0\r\nЗаготовка 2 4 3 2 5 4 -3 >= 0\r\nЗаготовка 3 10 6 0 8 0 -7 >= 0\r\nМатериал А 1 1 1 0 0 0 <= 100\r\nМатериал В 0 0 0 1 1 0 <= 300\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:\r\n XI XI A3 Х4 А5 А"6 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 1 \r\nЗаготовка 1 0 2 9 1 5 -4 >= 0 -0,13\r\nЗаготовка 2 4 3 2 5 4 -3 >= 0 0\r\nЗаготовка 3 10 6 0 8 0 -7 >= 0 -0,066\r\nМатериал А 1 1 1 0 0 0 <= 100 1,2\r\nМатериал В 0 0 0 1 1 0 <= 300 0,66\r\nSolution 0 0 100 280 20 320 320 \r\nИспользуется три рациональных способа раскроя из пяти.
Из имеющегося материала можно изготовить 320 комплектов заготовок. Третьим способом следует раскраивать все 100 единиц материала А. Для ответа на последний вопрос задачи увеличим количество заготовок в комплекте с 3 до 7. Получим следующий результат: \r\n XI XI A3 А4 Х5 А"6 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 1 \r\nЗаготовка 1 0 2 9 1 5 -4 >= 0 -0,028\r\nЗаготовка 2 4 3 2 5 4 -7 >= 0 -0,13\r\nЗаготовка 3 10 6 0 8 0 -7 >= 0 0\r\nМатериал А 1 1 . 1 0 0 0 <= 100 0,51\r\nМатериал В 0 0 0 1 1 0 <= 300 0,66\r\nSolution 22,5 0 77,5 300 0 249,3 249,3 \r\nОтветы: 1. Три способа. 2. 320 комплектов. 3. 100 единиц. 4. 249 комплектов. Задача 3. Решение.Предположим, что на фабрику поступает 100 м ткани 2. Тогда ткани 1 поступает 200 м. Модель оптимального раскроя будет иметь следующий вид:
\r\n XI XI A3 А4 Х5 Х6 А7 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nДеталь 1 8 0 4 12 0 6 -1 >= 0\r\nДеталь 2 0 3 1 0 5 2 -1 >= 0\r\nТкань 1 1 1 1 0 0 0 0 <= \' 200\r\nТкань 2 0 0 0 1 1 1 0 <= 100\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:\r\n XI А2 A3 А4 Х5 Х6 XI \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nДеталь 1 8 0 4 12 0 6 -1 >= 0 -0,27\r\nДеталь 2 0 3 1 0 5 2 -1 >= 0 -0,72\r\nТкань 1 1 1 1 0 0 0 0 <= 200 2,18\r\nТкань 2 0 0 0 1 1 1 0 <= 100 3,63\r\nSolution 100 100 0 0 100 0 800 800 \r\nПредположим, что оба вила ткани поступают в равных количествах. Тогда при условии, что общее\r\n XI XI A3 А"4 *5 Х6 XI \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nДеталь 1 8 0 4 12 0 6 -1 >= 0\r\nДеталь 2 0 3 1 0 5 2 -1 >= 0\r\nТкань 1 1 1 1 0 0 0 0 <= 150\r\nТкань 2 0 0 0 1 1 1 0 <= 150\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:\r\n А"1 А2 A3 Х4 Х5 АГ6 XI \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 1 \r\nДеталь 1 8 0 4 12 0 6 -1 >= 0 -0,27\r\nДеталь 2 0 3 1 0 5 2 -1 >= 0 -0,72\r\nТкань 1 1 1 1 0 0 0 0 <= 150 2,18\r\nТкань 2 0 0 0 1 1 1 0 <= 150 3,63\r\nSolution 109,1 40,9 0 0 150 0 872,7 872,7 \r\nОтветы: 1. Два способа. 2.50%. 3. На 9%. Задача 4. Решение.
Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заготовки.
Получаем пять\r\nЗаготовка Стержень 250 см Стержень 190 см\r\n Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5\r\n120 см 2 1 0 1 0\r\n80 см 0 1 3 0 2\r\nОтходы 10 50 10 70 30\r\nЗадача минимизации отходов при условии выполнения задания по изготовлению заготовок описывается следующей моделью: \r\n Х\\ А2 A3 А"4 Х5 \r\nMinimize 10 50 10 70 30 \r\nЗаготовка 120 см 2 1 0 1 0 = 470\r\nЗаготовка 80 см 0 1 3 0 2 = 450\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:
\r\n XI XI A3 Х4 А\'5 \r\nMinimize 10 50 10 70 30 \r\nЗаготовка 120 см 2 1 0 1 0 = 470 -5\r\nЗаготовка 80 см 0 1 3 0 2 = 450 -3,33\r\nSolution 235 0 150 0 0 3850 \r\nПри условии, что количество материала длиной 250 см ограничено, получаем модифицированную модель:
\r\n XI XI A3 А4 А5 \r\nMinimize 10 50 10 70 30 \r\nЗаготовка 120 см 2 1 0 1 0 = 470\r\nЗаготовка 80 см 0 1 3\' 0 2 = 450\r\nСтержень 250 см 1 1 1 0 0 <= 200\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:\r\n АҐІ А2 A3 А\'4 А5 \r\nMinimize 10 50 10 70 30 \r\nЗаготовка 120 см 2 1 0 1 0 = 470 -70\r\nЗаготовка 80 см 0 1 3 0 2 = 450 -15\r\nСтержень 250 см 1 1 1 0 0 <= 200 130\r\nSolution 200 0 0 70 225 13 650 \r\nОтветы: 1. 385 стержней. 2. 0. 3. 3850см. 4. 295 стержней. 5. На 9800 см. Задача 5. Решение.
Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заготовки. Получаем девять способов, показанных в следующей таблице: \r\nСпособ ~\\раскрол
Стсржень\\^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9\r\n32 см 2 2 1 1 1 0 0 0 0\r\n23 см 1 0 2 1 0 3 2 1 0\r\n18 см 0 1 0 1 3 1 2 3 4\r\nОтходы 2 \' 7 11 16 3 2 7 12 17\r\nЗадача максимизации количества комплектов при ограничении на количество используемого материала описывается следующей моделью:
\r\n А1 А2 A3 Х4 А\'5 Х6 А7 AS А9 А"10 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \r\nСтержень 32 см 2 2 1 1 1 0 0 0 0 -3 >= 0\r\nСтержень 23 см 1 0 2 1 0 3 • 2 1 0 -5 >= 0\r\nСтержень 18 см 0 1 0 1 3 1 2 3 4 -1 0\r\nМатериал 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 <= 80\r\nПроводя расчеты, получаем следующий результат:
\r\n Х\\ XI XI Х4 Х5 Х6 XI Л8 Х9 XI0 \r\nMaximize 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \r\nСтержень 32 см 2 2 1 1 1 0 0 0 0 -3 >= 0 -0,125\r\nСтержень 23 см 1 0 2 1 0 3 2 1 0 -5 >= 0 -0,125\r\nСтержень 18 ем 0 1 0 1 3 1 2 3 4 -1 >= 0 0\r\nМатериал 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 <= 80 0,375\r\nSolution 40 0 10 0 0 30 0 0 0 30 30 \r\nОтветы: 1. Девять способов. 2. 30 комплектов. 3. 250см.