1.1.1. Метод центра тяжести
Одним из ключевых факторов, определяющих экономическую и технологическую эффективность складского комплекса является его местоположение относительно расположения поставщиков и заказчиков продукции, идущей через склад.
Местоположение склада сказывается на таких показателях, как транспортные расходы, арендная земельная плата, а также объем продаж, поскольку в некоторых случаях местоположение дистрибьютера или компании-производителя влияет на выбор покупателя.В тех случаях, когда в качестве главного критерия оптимизации местоположения складского комплекса выбирается минимум суммарных транспортных затрат, для решения данной задачи может использоваться метод центра тяжести. Постановка задачи, решаемую методом центра тяжести, схематично представлена на следующем рисунке:
На рисунке 1 обозначено несколько объектов: поставщики, заказчики и в центре – складской комплекс. Стрелками указано направление грузовых потоков. Географическое расположение объектов представлено в декартовой прямоугольной системе координат, причем координаты поставщиков и получателей известны, а координаты оптовой базы остаются неизвестными. Требуется найти оптимальные значения величин x0, y0, при которых суммарные годовые затраты на транспортировку грузов в рассматриваемой системе будут минимальными. Транспортные затраты рассчитываются как произведение следующих величин:
Ÿ объем грузопотока, т/год;
Ÿ расстояние между поставщиком/заказчиком и складским комплексом, км;
Ÿ транспортный тариф, руб/ткм.
Единица измерения «руб/ткм» означает «рубль на тонно-километр», то есть во сколько обходится транспортной организации перемещение одной тонны груза на один километр.
Рассмотрим следующую задачу. Известны следующие исходные данные:
| № п/п | Объект | Объем грузопотока, т/год | Тариф, руб/ткм | Координаты | |
| x | y | ||||
| 1 | A | 3500 | 5 | 25 | 78 |
| 2 | B | 4000 | 8,5 | 10 | 34 |
| 3 | C | 6000 | 8,5 | 72 | 88 |
| 4 | D | 2300 | 5 | 85 | 50 |
| 5 | E | 4200 | 5 | 65 | 18 |
Введем следующие условные обозначения:
Ÿ n – количество поставщиков и заказчиков;
Ÿ qi – объем грузопотока i-го поставщика/заказчика, т/год;
Ÿ ri – транспортный тариф i-го поставщика/заказчика, руб/ткм;
Ÿ xi, yi – координаты i-го поставщика/заказчика;
Ÿ x0, y0 – координаты складского комплекса;
Ÿ d0i – расстояние между складским комплексом и i-м поставщиком/заказчиком.
Требуется определить оптимальные значения величин x0, y0, при которых будет выполняться следующее условие:
,
где TC (Total Cost) – суммарные затраты на транспортировку, руб/год.
Нахождение оптимальных координат x0, y0 осуществляется с помощью итерационного сходящегося алгоритма. Количество итераций определяется требованиями к степени точности получаемого решения. Алгоритм решения задачи методом центра тяжести
Шаг 0. Начальный расчет величин x0, y0:
; 
.
На основании расчетов, приведенных в таблице 2, определяем начальные значения координат оптовой базы: x0 = 6792000/135000 = 50,3; y0 = 7962000/135000 = 59,0.
| № п/п | Объект | xiqiri | yiqiri | qiri |
| 1 | A | 437 500 | 1 365 000 | 17 500 |
| 2 | B | 340 000 | 1 156 000 | 34 000 |
| 3 | C | 3 672 000 | 4 488 000 | 51 000 |
| 4 | D | 977 500 | 575 000 | 11 500 |
| 5 | E | 1 365 000 | 378 000 | 21 000 |
| Сумма | 6 792 000 | 7 962 000 | 135 000 | |
Шаг 1. Расчет расстояний между складским комплексом и множеством поставщиков/заказчиков (см. табл. 3, графа 3):
Шаг 2. Расчет суммарных затрат на транспортировку (см. табл. 3, графа 4):
Шаг 3. Повторный расчет координат оптовой базы (см. табл. 3, графы 5-7):
; 
.
| № п/п | Объект | d0i | qirid0i | xiqiri/d0i | yiqiri/d0i | qiri/d0i |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | A | 31,7 | 554 089 | 13 817,7 | 43 111,3 | 552,7 |
| 2 | B | 47,4 | 1 612 358 | 7 169,6 | 24 376,7 | 717,0 |
| 3 | C | 36,2 | 1 847 789 | 101 349,2 | 123 871,3 | 1 407,6 |
| 4 | D | 35,8 | 412 066 | 27 280,2 | 16 047,2 | 320,9 |
| 5 | E | 43,5 | 914 149 | 31 357,0 | 8 683,5 | 482,4 |
| Сумма | – | 5 340 452 | 180 973,8 | 216 089,9 | 3 480,7 | |
В соответствии с проведенными вычислениями, определяем новые координаты оптовой базы: x0 = 180973,8/3480,7 = 52,0; y0 = 216089,9/3480,7 = 62,1.
Отметим также, что при старых координатах оптовой базы (50,3; 59,0) суммарные затраты на транспортировку, согласно табл. 3., составляют: TC = 5340452 руб/год.Шаг 4. Повторять шаги 1, 2 и 3 до тех пор, пока суммарные транспортные затраты TC не перестанут изменяться на значимую величину.
Результаты выполнения шага 4 представлены в следующей таблице:
| Номер итерации | Координаты | TC | |
| xo | yo | ||
| 0 | 50,3 | 59,0 | 5 340 452 |
| 1 | 52,0 | 62,1 | 5 305 197 |
| 2 | 53,3 | 63,8 | 5 291 233 |
| 3 | 54,2 | 64,9 | 5 285 120 |
| 4 | 54,8 | 65,6 | 5 282 289 |
| 5 | 55,3 | 66,1 | 5 280 933 |
| 6 | 55,6 | 66,4 | 5 280 269 |
| 7 | 55,8 | 66,6 | 5 279 939 |
| 8 | 56,0 | 66,8 | 5 279 773 |
| 9 | 56,1 | 66,9 | 5 279 689 |
| 10 | 56,2 | 67,0 | 5 279 646 |
| … | … | … | … |
| 100 | 56,3 | 67,2 | 5 279 601 |
Как хорошо видно в данной таблице, уже на первых десяти итерациях можно получить достаточно точные значения координат оптовой базы, которые дают вполне приемлемые результаты по величине суммарных транспортных затрат TC. Выполнение дальнейших итераций (в данном случае, для сравнения, представлена сразу 100-я итерация) незначительно влияет на конечный результат. Это говорит о том, что уже на первых нескольких итерациях можно прекратить дальнейшие вычисления.