Идентификация относительно стабильных зависимостей

Возможны случаи, когда вы можете оценить уравнение на основе некоторых предварительных предпосылок о его случайном члене. Это можно объяснить, возвращаясь к модели спроса и предложения, на этот раз в ее простейшем виде:

ydi=a + $pt+udi;              (11.64)

ySl =b + ept+uSi.              (11.65)

Здесь нет экзогенных переменных, и поэтому никакое из уравнений не идентифицируемо.

*=7^ + ІТqr:              lt;1166gt;

=              (ll67)

Другими словами, равновесные значения р и * для каждого наблюдения определяются константами (а — 5)/(є - Р) и (ає — Р5)/(є — Р) плюс некоторые случайные компоненты.

Ситуацию можно проиллюстрировать с помощью рис. 11.1. Пунктирные линии представляют фиксированные составляющие уравнений спроса и предложения, и их пересечение дает две только что полученные константы. На рисунке также показаны кривые спроса и предложения для четырех наблюдений. Для первого наблюдения величина us положительна, и 5, находится правее линии

Рис. 11.1. Относительно стабильная функция спроса

с фиксированной составляющей, но величина ud отрицательна, и Z), находится левее линии с фиксированной составляющей. В результате величина р получается меньше своего среднего равновесного уровня, однако величина у изменяется несущественно. Аналогично можно рассуждать и для остальных наблюдений.

Очевидно, что точки равновесия случайно разбросаны вокруг фиксированной точки, и оцененное уравнение регрессионной зависимости у от р не будет соответствовать ни функции спроса, ни функции предложения.

Если вы окажетесь достаточно настойчивы в построении уравнения регрессии между у и р, то коэффициент при р, равный Cov (y,p)/Var (р), на больших выборках будет стремиться к

+ К, -(е + РКл

? +ст2 _2а              \'              (П-68)

Это выражение может быть переписано как

о (є - Р)(lt; - aUdUs)              (е _ р)(lt;^ _ Сил)

Р 2 ,              2 _¦)              ИЛИ              Е              2              .

us udus              C“d              + CT“j 2a4d«s

Как показывает первое выражение в (11.69), полученная оценка может рассматриваться как смещенная оценка 3- Как показывает второе выражение в (11.69), она также может трактоваться как смещенная оценка є. Можно делать выбор, но в общем случае оба варианта оказываются бесполезными.

Предположим, однако, что одна из зависимостей является относительно стабильной. Допустим, например, что рассматриваемый товар — мороженое, и спрос на него сильно изменяется от месяца к месяцу в зависимости от сезона, но кривая предложения остается относительно стабильной, поскольку это промышленный товар. Тогда значения aj и o„dus окажутся относительно небольшими по сравнению с o2rf и коэффициент при р будет ближе к є, чем к р. Графически эта ситуация проиллюстрирована на рис. 11.2.

Точно так же можно рассмотреть случай, когда относительно стабильной, по сравнению с функцией предложения, является функция спроса. Производство сельскохозяйственной продукции, предложение которой подвержено влиянию погоды, может служить примером такой ситуации.

У

Упражнение

14. Вы располагаете следующим набором данных:

Величина смещения оценки для одновременных уравнений

Для смещения оценки в случае оценивания модели из одновременных уравнений с помощью МНК нет какой-либо однозначной формулы. Каждый раз она будет определяться структурой модели. Здесь мы исследуем смещение для случая, когда с помощью уравнения регрессионной зависимости С от Y оцениваются параметры функции потребления.

Как было показано в разделе 3.1, оценка р с помощью МНК может быть разбита на две составляющие: истинное значение коэффициента и ошибку:

. Со v(y,C) _ Cov( У, и)

“Уеті?)- +_Var(F) \'              С\'-™)

Мы хотели бы найти математическое ожидание Ь. К сожалению, нельзя сделать это непосредственно, поскольку Cov (У, i/)/Var (У) — отношение двух величин, каждая из которых частично зависит от одной и той же случайной переменной. Значение Cov (У, и) непосредственно зависит от и. Величина Var (У) также зависит от и, так как У частично определяется и.

оуи = pop. cov

В то же время на больших выборках при принятии определенных предположений Cov (У, и) и Var (У) стремятся к своим аналогам в генеральной совокупности pop. cov (У, и) и pop. var (У), и отношение Cov (У, u)/Var(Y) будет стремиться к oYJo\\. Используя (11.3), можно представить aYu как

1-р              1-р              1-р

= pop. cov j , и| + pop. covj^p, и|.              (11.71)

Слагаемое а/(1 — Р) исчезает, поскольку это константа. Нет причин предполагать, что объем инвестиций коррелирует со случайной составляющей потребления, поэтому с достаточным основанием можно полагать, что pop. cov (I, и) = 0. В итоге мы имеем:

aYu = PoP-covjj^p ,и| = ]~Гр ст"’              (П-72)

Далее, если Var (/) на больших выборках стремится к своему пределу а[XXIII]р то, снова убирая слагаемое а/(1 — Р) как константу и предполагая pop. cov (I, и) = 0, мы получим:

2              а              /              и              1

aK = pop.var| _ + _ + _| =

-—2-[pop.var(/) + pop.var(w)+ 2рор.соу(/,и)] =

(1-Р)

ol

2 (°/ + ст«)

(1-Р)

что можно упростить до выражения (11.4)

12