6. Свойства ранговых систем стимулирования

Одним из типовых решений в управлении проектами является использование ранговых систем стимулирования, в которых либо множество возможных результатов деятельности разбивается на равные отрезки («расстояния» между нормативами одинаковы), либо на равные отрезки разбивается множество вознаграждений («расстояния» между размерами вознаграждений за выполнение нормативов одинаковы).
Поэтому исследуем последовательно эти два случая для нормативных и соревновательных РСС. Кроме того, в управлении проектами (см. шестой раздел) зачастую предполагается, что существуют нормативы затрат, не зависящие от объемов работ, что в рамках рассматриваемой модели стимулирования приводит к предположению о линейности функций затрат АЭ. На протяжении всего изложения материала настоящего и последующего разделов будем предполагать, что выполнены предположения А.1-А.5 (см. пятый раздел).
Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на n равных отрезков [Y,, Yi+1], i = 0, n -1, Yo = 0, Yn = A+, то есть Y, = i A+ /n, i е I. Тогда из выражения (15) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:
q1 = C1(A+/n), q, = qlA + [cj(i A+ /n) - c,((i - 1) A+ /n)], i = 2, n .
В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i е I, получаем:
q1 = k1 A+/n, Sj = qг - qi-1 = kг A+ /n, i = 2, n .
Утверждение 6. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.
Доказательство. Из предположения А.4 следует, что
c,(i A+ /n) > ci((i - 1) A+ /n), i = 2, n, что совместно с (1) обусловливает прогрессивность, а предположение об упорядочении затрат АЭ (см. А.4) совместно с (2) дает
S - дг-1 <0, i = 2, n, откуда и следует вогнутость. •
Возникает предположение - может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми). Ответ на первый вопрос - утвердительный, так как из (1) следует
монотонность УНРСС для любых функций затрат, удовлетворяющих А.2-А.4 (см. также теорему 1 в пятом разделе). Ответ на второй вопрос неоднозначен - в зависимости от функций затрат и соотношения типов АЭ УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример.
Пример 3. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (1) следует, что
Si = (A+)2(2 i - 1) / 2 n2 r,, i e I.
Получаем, что «вторая производная» равна
S - S. = (All <2i' _ '>r_._(2i _ 3)r, i = .
2n ri_1ri
Учитывая, что в силу предположения А.4 ri > ri-1, i = 2, n,
2i _ 1
имеем, что при r^ < ri < ——3 ri-i, i = 2, n, УНРСС является
2i _ 1
прогрессивной и выпуклой, при ri > ——3 ri_1, i = 2, n - вогнутой,
2i _ 1 —
а при ri = n.i, i = 2, n - линейной.
2i _ 3
Следовательно, имея распределение АЭ по типам можно для каждого класса функций их затрат предсказывать какими свойствами должна обладать оптимальная УНРСС. Например, если последовательность типов АЭ с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей и лежит в области I на рисунке 4, то соответствующая оптимальная УНРСС является выпуклой, если - в области II, то вогнутой, на границе этих областей - линейной, а если пересекает границу, то ни выпуклой, ни вогнутой. •

Рис. 4. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС


Рис. 4. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС


Перейдем к исследованию УНРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = i q1, i e I. Из выражения (15) пятого раздела получаем, что
h = с-1 (qi), ?, = с-1 (qi + ciYui)), i = 2n, где с-1 () - функция, обратная к функции затрат.
i
Для линейных функций затрат АЭ имеем: Yi = q1 ? 1/ kj,
J=i
n
i e I.
Из условия Yn = A+ окончательно получаем: q1 = A+/? 1/ kj ,
J=i
Yi = [A+ ? 1/kj ] /^1/kj , i e I.
J=1 j=1
Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов
n
Di = Yi - Yi-i = qi /ki = A+ / [kt ? 1/ k} ], i = 2, n .
j=1
Из выражения (5) следует справедливость следующего утверждения.
Утверждение 7. В УНРСС при линейных функциях затрат АЭ и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности АЭ.
Аналогично тому, как это делалось для УНРСС, исследуем типовые решения с равномерными нормативами и вознаграждениями для СРСС.
Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на (n - 1) равный
отрезок [Yi, Yi+1], i = 1, n _ 1, Y1 = 0, Yn = A+, то есть Yi = (i - 1) A+ / (n - 1), i e I. Тогда из выражения (24) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:
ql = 0, qi = qu + [ci_1((i-1)A+/(n-1)) - c1_l((i-2)A+/(n-1))], i = 2~n .
В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i e I, получаем:
q1 = 0, Si = qi - qi-1 = кц A+ / (n-1), i = 2, n .
По аналогии с доказательством утверждения 6, используя (7), можно доказать справедливость следующего утверждения.
Утверждение 8. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ СРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.
Пример 4. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (6) следует, что
Si = (A+)2(2 i - 3) /2 (n-1)2 ri-1, i = 2n. Получаем, что «вторая производная» равна
- = (2i _ -(* _ 3)1 , i = ^.
2(n _ 1)2
В рассматриваемом примере можно по аналогии с тем, как это делалось в примере 3, построить области возрастающих последовательностей типов АЭ, при которых УНРСС является выпуклой, вогнутой, линейной или ни выпуклой, ни вогнутой. •
Перейдем к исследованию СРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = (i-1) q2, i = 2, n. Из выражения (24) пятого раздела получаем, что
Y1 = 0, Yi = c_| (q2 + cUY.d), i = 2n.
Для линейных функций затрат АЭ имеем: У, = q2 ?1/ k._1 ,
j=2
i = 2, n. Из условия Уп = A окончательно получаем:
п
q2 = A+/ ? 1/ k._1 (отметим, что в СРСС основные показатели не
j=2
зависят от эффективности деятельности победителя конкурса - АЭ, имеющего минимальные затраты),
У, = [A+ ? 1/k. ] /?1/k. , i € I.
j=1 j=1
Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов
п
Д = У, - Уи1 = q2 /ki1 = A+ / [k,-! ? 1/ kj ], i = 2, n .
j=1
Из выражения (10) следует справедливость следующего ут-верждения.
Утверждение 9. В СРСС при линейных функциях затрат АЭ и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности АЭ.
Применение используемой в настоящем разделе техники анализа типовых решений дает возможность изучать свойства оптимальных УНРСС и СРСС для различных (конкретных) функций затрат и распределений типов АЭ. Кроме того, сравнивая выражения (1)-(5) с, соответственно, выражениями (6)-(10), можно в каждом конкретном случае исследовать сравнительные свойства типовых решений в УНРСС и СРСС.
Исследовав статические свойства ранговых систем стимулирования, вспомним, что проект является существенно динамическим объектом, поэтому исследуем временные характеристики таких типовых решений как различные шкалы оплаты труда (восьмой раздел) и мероприятия по сокращению продолжительности проекта (девятый раздел).
<< | >>
Источник: Васильев Д.К., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А., Цветков А.В.. Типовые решения в управлении проектами. М.: ИПУ РАН (научное издание),2003. - 75 с.. 2003

Еще по теме 6. Свойства ранговых систем стимулирования:

  1. Свойства ранговых систем стимулирования.
  2. 12. РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ
  3. 5. Ранговые системы стимулирования: обзор известных моделей
  4. Базовыми системами стимулирования назовем системы стимулирования C-типа K-типа, L-типа и D-типа, а также все производные от них системы стимулирования.
  5. Унифицированные нормативные ранговые системы сти-мулирования.
  6. Соревновательные системы стимулирования.
  7. Ранговый потенциал
  8. Квазикомпенсаторные системы стимулирования
  9. Банковская система, ее свойства и элементы
  10. Степенные системы стимулирования
  11. Компенсаторные системы стимулирования (K-типа).
  12. Квазискачкообразные системы стимулирования
  13. Системы стимулирования C+D-типа.
  14. 9. УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ
  15. 6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ БАЗОВЫХ СИСТЕМ СТИМУЛИРОВАНИЯ
  16. Системы стимулирования LL-типа.
  17. Системы стимулирования LL-типа (составные).
  18. Пропорциональные системы стимулирования (L-типа).