3. Обобщенные решения задач управления организационными системами

Рассмотрим модель организационной (активной) системы (ОС), состоящей из управляющего органа - центра (руководителя проекта) и n управляемых субъектов - АЭ (исполнителей проекта),
функционирующих в условиях полной информированности обо всех существенных внешних и внутренних по отношению к системе параметрах (детерминированная ОС).
Теоретико-игровая формулировка задачи управления заключается в следующем. Пусть
n
y = (yi, y2, yn) e A' = ^ A, - вектор стратегий (действий)
i=1
АЭ, компоненты которых они выбирают одновременно и независимо, u e U - управление со стороны центра.
Предположим, что целевая функция i-го АЭ f(y, u), отражает его предпочтения на множестве A'xU. Определим P(u, f) - множество решений игры АЭ как множество равновесных при заданном управлении u e U стратегий АЭ. В одноэлементной ОС P(u, f является множеством точек максимума целевой функции АЭ, в многоэлементных системах - множеством равновесий (в макси- минных стратегиях, или доминантных стратегиях, или равновесий Нэша, Байеса, Штакельберга и т.д. - в зависимости от конкретной задачи [13, 38, 73, 74]).
При этом задача управления ОС заключается (далее по умолчанию будем считать выполненной гипотезу благожелательности) в поиске допустимого управления, максимизирующего целевую
функцию центра: u* e Arg max max F(u, y) при заданной
ueU yeP(u,f)
целевой функции АЭ f( ), то есть управления, имеющего максимальную эффективность K(u, f) = max F(u, y) (или максималь-
yeP (u,f)
ную гарантированную эффективность Kg(u, f) = min F(u, y)).
yeP (u,f)
Зависимость u = II () управления от стратегий АЭ определяет механизм управления в узком смысле - совокупность правил и процедур принятия решений центром.
Два важных частных случая общей постановки составляют задачи стимулирования и задачи планирования. В задаче стимулирования управление II () содержательно соответствует отображению множества действий АЭ (в этом случае стратегией является выбор действий) во множество допустимых вознаграждений (штрафов) [23, 43, 44], в задаче планирования - отображению множества
сообщений АЭ (в этом случае стратегией является выбор сообщаемой информации) во множество допустимых планов (желательных состояний АЭ, коллективных решений и т.д.) [8, 10, 13, 43, 46].
До настоящего момента мы считали, что модель ОС совпадает с реальной системой, для которой она строится. Перейдем к анализу возможных различий ОС и ее модели. Примем следующее предположение: модель ОС полностью совпадает с оригиналом по следующим параметрам - состав, структура, число периодов функционирования, порядок функционирования и информированность участников (см. определения в [38]). Таким образом, будем считать, что модель может отличаться от реальной ОС только лишь целевыми функциями участников и множествами их допустимых стратегий.
В общем случае можно выделить три причины несовпадения модели и моделируемой ОС (естественно, возможны все возможные комбинации этих причин):
неадекватность модели, неосознаваемая центром и исследователем операций (см. подробное обсуждение в [11, 37, 45]);
наличие неопределенности, то есть неполная информированность центра и исследователя операций о существенный внешних и внутренних по отношению к моделируемой системе параметрах в условиях правильно выбранной структуры модели, аппарата моделирования, общих закономерностей описания и т.д.
необходимость и/или целесообразность использования известных моделей для описания новой ОС.
Последняя причина характерна для рассматриваемой в настоящей работе проблемы унифицированного управления проектами, при котором для нового проекта используются существующие элементы системы управления (механизмы управления), например, типовые решения. Однако так как существует единый подход к учету всех трех перечисленных причин, основывающийся на понятии обобщенного решения задачи управления [37, 40, 75], то приведем в настоящем разделе общие известные результаты по обобщенным решения, с тем, чтобы использовать их в дальнейшем при анализе и синтезе типовых решений в управлении проектами.
Введение обобщенных решений позволяет получить ответы на следующие вопросы:
насколько оптимальное решение чувствительно к ошибкам описания модели, то есть, будут ли малые "возмущения" модели приводить к столь же малым изменениям оптимального решения (условно эта задача называется задачей анализа устойчивости оптимального решения по параметрам модели, точнее - задачей анализа устойчивости принципа оптимальности);
будет ли механизм управления, обладающий определенными свойствами в рамках модели (например, оптимальность, эффективность не ниже заданной и т.д.), обладать этими же свойствами и в реальной ОС, и насколько широк класс реальных ОС, в которых данный механизм еще обладает этими свойствами (условно эта задача называется задачей анализа адекватности модели).
Не претендуя на полноту анализа, приведем некоторые подходы к решению проблем устойчивости и адекватности для ряда механизмов управления ОС. Качественно, основная идея заключается в следующем. Эффективностью управления в известных на сегодняшний день моделях является значение (гарантированное или максимальное) целевой функции центра на множестве решений игры АЭ (множестве тех действий АЭ, которые им выгодно выбирать при использовании центром данного управления). С таким критерием эффективности задача синтеза оптимального управления заключается в поиске допустимого управления, имеющего максимальную эффективность. Использование оптимальных (в определенном выше смысле) решений приводит к тому, что они, как правило, оказываются неоптимальными при малых вариациях параметров модели. Возможным путем преодоления этого недостатка является расширение множества "оптимальных" решений за счет включения в него е-оптимальных (приближенных решений, почти решений и т.д.). Оказывается, что такое ослабление понятия "оптимальность" (корректно называемое регуляризацией принципа оптимальности [31, 32, 53]) позволяет, установив взаимосвязь между возможной неточностью описания модели и величиной е, гарантировать некоторый уровень эффективности множества решений в заданном классе реальных систем, то есть расширить класс гарантированной применимости решений за счет использо-
вания менее эффективных из них, нежели, чем оптимальные в классическом понимании. Иными словами, вместо рассмотрения фиксированной модели ОС, необходимо исследовать семейство моделей. Для параметрического решения задачи управления на семействе моделей используется термин "обобщенное решение задачи управления ОС" [37] (следует отметить, что предложенный Д.А. Молодцовым [31, 32] подход к исследованию устойчивости принципов оптимальности, в отличие от теории некорректных задач (в которой семейство приближенных решений совпадает с семейством окрестностей точного решения в некоторой топологии - такой подход достаточно распространен в исследованиях по устойчивости), использует вместо топологии на множестве решений само семейство приближенных решений, что позволяет достаточно просто согласовать понятия устойчивости и приближенного решения).
Перейдем к определению понятия устойчивости решения задачи управления, описываемой иерархической игрой типа Г2 [23], для которой известно, что она корректна (устойчива) относительно целевой функции центра и в общем случае неустойчива относительно целевой функции АЭ (см., например [23, 31]). Регуляризация этой задачи возможна и заключается в искусственном введении неточности вычисления максимума целевой функции АЭ [23, 37]. Однако, во-первых, предположение о том, что АЭ согласится выбирать ^-оптимальные стратегии, не всегда обоснованно, а, во-вторых, как отмечалось выше, помимо проблемы устойчивости существует и проблема адекватности модели. Перейдем к формальным определениям.
Пусть M - множество моделей организационных систем (ОС), которому в силу введенных предположений принадлежат и реальная (моделируемая) ОС т, и ее модель m \ Из перечисленных выше параметров модели следует, что модель ОС (и сама моделируемая ОС) может быть представлена кортежем:
т = { Ф(), / (•), U, A} (т = (Ф(),_Д), U, A}), включающем целевые функции и допустимые множества центра и АЭ, соответ-
ственно. Критерий эффективности управления K(u), естественно, зависит от модели, то есть K(u) = K(u, m ).
Введем дополнительно следующее предположение: модель ОС может отличаться от оригинала только предпочтениями АЭ, то
есть m = (Ф( ), f ( ), U, A}). В качестве обоснования данного предположения можно привести следующие рассуждения. Так как исследователь операций находится на позициях центра, то его предпочтения (целевая функция Ф ()) и множество допустимых управлений U ему известны. Основную сложность при построении теоретико-игровой модели, как правило, представляет идентификация именно предпочтений АЭ (отметим, что в [23] показано, что при неточном описании предпочтений управляющего органа на соответствующую величину уменьшается гарантированная эффективность управления; кроме того, в [37, 40] построены обобщенные решения детерминированных задач стимулирования в ОС, модели которых отличаются от оригинала по всем параметрам).
Для описания близости моделей введем псевдометрику ji(') - числовую функцию, определенную на M xM, и удовлетворяющую следующим условиям: "mit m2, m3 e Mвыполнено:
m(mi, mi) = 0, m(mi, m2) + m(m2, m3) > fl(mi, m3).
Ограничимся рассмотрением критериальных принципов оптимальности, задаваемых критерием эффективности K(u, m), где u e U, m e M. Оптимальными (точнее, e-оптимальными, e > 0) будут стратегии из множества : (1) Re(m) = {u e U | K(u, m) > sup K(t, m) - e}.
teU
Соответствующий принцип оптимальности (в общем случае [32] принцип оптимальности - точечно-множественное отображение, ставящее в соответствии каждой модели или реальной ОС подмножество множества допустимых управлений) называется критериальным.
Задача синтеза оптимального (е = 0) управления ОС заключается в поиске допустимого управления, максимизирующего эффективность для заданной ОС или ее модели (различий между ними пока мы не делаем):
K(m) = sup K(u, m).
ueU
То есть «классическому» принципу оптимальности K(m) соответствует множество решений R0(m).
Будем считать, что U - метрическое пространство с метрикой v, которая порождает метрику Хаусдорфа Hv(B1, B2), определяющую «расстояние» между подмножествами B1 и B2 множества U .
Принцип оптимальности R^m) устойчив на модели m е M [32], если
" a > 0 $ f > 0: "m е M:
m(m, m) ? fb ® Hv(R( m ), R?(m)) ? a.
Определение устойчивости (3) близко к определению устойчивости по Ляпунову и качественно означает, что малые возмущения модели приводят к малым изменениям множеств оптимальных решений.
Критериальный принцип оптимальности R0(m) называется устойчивым на модели m е M, если функция K(m), определяемая (2), непрерывна на модели m . Более общие определения устойчи-вости принципов оптимальности можно найти, например, в [32].
Отметим, что когда речь идет об устойчивости принципа оптимальности, в (3) используется «расстояние» между множествами оптимальных решений (1). В то же время, если результаты моделирования используются на практике, то для внедрения предлагается, как правило, единственное решение, поэтому введем определение устойчивости отдельного решения, удовлетворяющего тому или иному принципу оптимальности.
Для критериального принципа оптимальности устойчивость решения u е U на модели m определяется как непрерывность функции K(u, m) на модели m .
Конкретное решение u e U абсолютно устойчиво в области B(e, u) сM, если (4) " m e B(e, u) u e Re(m).
Другими словами, область абсолютной устойчивости (точнее - абсолютной e-устойчивости) можно определить следующим образом: B(e, u) = {m e M | u e Re(m)}.
Качественно абсолютная устойчивость конкретного решения u e U в некоторой области означает, что оно e-оптимально для любой ОС (и модели) из этой области. Понятно, что "u e U, "e1 > e2 > 0 B(0, u) сB(e2, u) сB(e1, u), то есть с ростом e область абсолютной устойчивости конкретного решения не сужается. Конкретные результаты анализа устойчивости решений ряда задач управления ОС приведены в [37].
Таким образом, с одной стороны, каждой модели (и реальной ОС) принцип оптимальности Re ставит в соответствие (см. рисунок 1а) множество стратегий, которые e-оптимальны в данной модели (данной реальной ОС). С другой стороны, каждому управлению u e U можно поставить в соответствие (см. рисунок 1б) множество B(e, u) моделей (реальных ОС), в которых данное управление e- оптимально. Отметим, что в обоих случаях величина e является параметром (см. рисунок 1) и на обоих рисунках (1а и 1б) модель m e M, ОС m e Mи управление u e Uодни и те же.

Рис. 1а. Множества е-оптимальныхрешений (е1 > е2 > 0)


Рис. 1а. Множества е-оптимальныхрешений (е1 > е2 > 0)


Рис. 1б. Области абсолютной устойчивости решения ueU (ei > е2 > 0)


Рис. 1б. Области абсолютной устойчивости решения ueU (ei > е2 > 0)


Перейдем к определению адекватности. Фиксируем некоторую модель m e M и принцип оптимальности Re. Интуитивно понятно, что при e = 0 адекватность соответствует, в отличие от устойчивости (когда требуется непрерывность sup K(t, m) по модели [32]),
tdJ
непрерывности по модели из малой окрестности m следующей функции: K(u, m), u e Re( m). Поэтому можно считать, что модель m с принципом оптимальности Re e-адекватна (в смысле задачи полного выбора [32]) множеству реальных ОС Me( m ), определяемому следующим образом: (5) M( m) = {m e M | Re( m) n Re(m) * 0} с M, то есть тем реальным ОС, в которых хотя бы одно из решений, оптимальное в модели, также оптимально. На рисунке 1а показан случай, когда m ? Me (m), но m e Me^ (m).
Другими словами, модель m с принципом оптимальности Re е-адекватна множеству реальных ОС Me( m), если $ u e U: m e B(e, u), m e B(e, u) (см. рисунок 1б). Еще один эквивалентный способ формулировки того же определения следующий: Me( m ) n Me(m) * 0. Следовательно, адекватность модели определяется через абсолютную устойчивость оптимальных в ней решений.
Отметим, что определение (5) симметрично относительно реальной ОС и ее модели, поэтому можно считать, что модель m e- адекватна реальной ОС m, если m e Me(m). Понятно, что " m e M, "e1 > e2 > 0 M0( m ) с M?2 (m) с MEi (m).
Совокупность решений (с параметром e > 0): {u e U; B(e, u)} в [37] названа обобщенным решением задачи управления. Совокупность {u e Re(m ); B(e, u)} является обобщенным решением задачи управления для модели m e M.
Следует отметить, что приведенное определение адекватности слишком широко, так как в нем фигурирует множество всех e- оптимальных (для модели или реальной ОС) решений.
Следовательно, для каждого решения u e U, помимо его эф-фективности (эффективности управления, «допустимое» отклонение которого от максимального значения определяется параметром
е), существует еще одна характеристика - множество тех ОС B(e, u), в которых оно е-оптимально, то есть абсолютно устойчиво.
Областью е-адекватности модели m е M назовем следующее множество ОС: M(m, е) = I B(e, u), то есть множество тех ОС,
ugR? (m)
для которых любое решение, е-оптимальное в модели, также явля-ется е-оптимальным. Аналогичным образом можно определить область е-адекватности реальной ОС m е M: M(m, е) = I B(e, u).
ugR? (m)
Итак, появляется возможность сравнения оптимальных решений. Естественно считать, что из двух решений, удовлетворяющих принципу оптимальности, решение, эффективное в большей области ОС, "лучше". Введем на множестве R?(m) следующее отношение "Z" (в общем случае не полное): (6) " е > 0 " uh u2 е R( m ) u1 Z u2 « B(e, u1) с B(e, u2). Понятно, что с точки зрения практического использования результатов математического моделирования целесообразен выбор из Ri( m) элемента, максимального по отношению "Z" (если таковой существует).
Итак, для фиксированных модели и принципа оптимальности можно указать множество реальных ОС (множество моделей ОС), в которых существует решение, гарантированно удовлетворяющее принципу оптимальности.

Это множество заведомо не пусто, так как содержит саму модель (см. рисунок 2).


Это множество заведомо не пусто, так как содержит саму модель (см. рисунок 2).


Если существует решение, е-оптимальное в модели, которое е- оптимально и в реальной ОС, то будем считать, что модель e- адекватна. Таким образом, критерием е-адекватности модели является эффективность управления реальной ОС.
Знание множества B(e, u), u e Re( m ), позволяет на этапе внедрения результатов анализа модели m оценить возможные потери от практического использования решения и, быть может, при необходимости, пересмотреть модель ОС или принцип оптимальности.
Модификация принципа оптимальности даже при фиксированных параметрах модели представляется достаточно перспективной. Например, снижая требования к эффективности управления, можно для каждого из решений расширить область его устойчивости и, следовательно, расширить множество реальных ОС, в которых решения, удовлетворяющие ослабленному принципу оптимальности, будут гарантированно оптимальными (точнее, в классической терминологии - гарантированно е-оптимальными).
Приведенные качественные рассуждения свидетельствуют, что существует определенный дуализм между эффективностью решения задачи управления и областью его гарантированной применимости (областью его абсолютной устойчивости или областью адекватности). Конкретные зависимости между эффективностью и областью адекватности для ряда моделей ОС приведены в [37].
Жертвуя эффективностью управления, можно расширить множество ОС, в которых применимы результаты моделирования. Особенно ярко этот эффект проявляется при анализе областей устойчивости решений, удовлетворяющих тем или иным критериальным принципам оптимальности. Величина е, фигурирующая в определении критериального принципа оптимальности, фактически, характеризует те потери эффективности, на которые мы готовы пойти, считая решение еще «оптимальным» (такое общее определение оптимальности несколько противоречит широко распространенному определению, в соответствии с которым оптимальным считается допустимое решение, имеющее максимально возможную эффективность).
Качественно отмеченный выше дуализм между эффективностью и адекватностью (областью устойчивости) для критериальных принципов оптимальности имеет следующий формальный вид: множество ОС, адекватных фиксированной модели с критериальным принципом оптимальности, не уменьшается с ростом е; кроме того, область абсолютной устойчивости фиксированного решения, оптимального в модели, не сужается с ростом е [37,40]. Данный факт (с ослаблением требований к эффективности некоторого решения область его абсолютной устойчивости расширяется и, следовательно, расширяется область адекватности) свидетельствует, что для решения проблем устойчивости и адекватности достаточно указать конкретную зависимость между величиной е и множеством ОС, котором требуется обеспечить заданную эффективность управления, то есть, например, найти по модели минимальное значение е, обеспечивающее выполнение требования адекватности.
Отметим, что во многих случаях [37] области абсолютной устойчивости оптимальных (при е = 0) решений задач управления очень узки и иногда состоят из одной точки. Возможность расши-
рения областей устойчивости "неустойчивых" решений, установленная выше и в [32, 37, 40, 75], свидетельствуют, что критерий е- оптимальности является регуляризирующим (в смысле [53]) для критерия K(u, m).
Таким образом, мы привели известные подходы к определению понятий устойчивости решений задач управления ОС и адекватности моделей ОС реальным системам. Конструкцией, которая использовалась при этом, явилось понятие обобщенного решения, включающего в себя в явном виде зависимость между эффективностью управления и областью его устойчивости и адекватности. Приведенная методология может быть использована и для анализа проблем унификации управления проектами.
В заключение настоящего раздела определим, что будет пониматься под эффективностью типового решения.
Пусть имеется ОС m е M и ее модель m е M. Определим минимальную величину е(ш, m ) потерь эффективности, при которой существует хотя бы одно решение, которое е(ш, m )-оптимально и в модели, и в ОС:
е(ш, m ) = min {е > 0 | M( m, е) пM(m, е) ? 0}.
Если задано множество ОС M1 сM, то можно определить для заданной модели m е M минимальную величину потерь в эффективности е( m, M1), при которой любое решение, е( m, M1)- оптимальное в модели будет гарантированно е( m, M1)- оптимальным во множестве реальных ОС M1:
е( m, M1) = min {е > 0 | M1 сM( m, е)}.
Величина (8) может рассматриваться как критерий «качества» модели m е M. Следовательно, для заданного класса ОС M1 можно ставить задачу поиска наилучшей модели, то есть модели, которая давала бы максимальное гарантированное значение эффективности управления:
m (M1) = arg min е( m, M1).
mGM
Минимальные потери эффективности, которые достигаются при использовании «оптимальной» модели (9), равны:
е(И1) = min е(m, Mi).
m<^M
Понятно, что "M2 сM, сM e(M2) ? e(M,) ? e(M), то есть с расширением класса ОС, для которого решается задача синтеза управлений, гарантированная эффективность не возрастает. Так как множество реальных ОС, фигурирующее в выражении (10), отражает ту информацию о моделируемом объекте, которой обладает исследователь операций, то сделанный вывод можно пере-формулировать следующим образом: с ростом информированности (с уменьшением неопределенности) гарантированная эффективность управления не убывает, что вполне согласовано с результатами, приведенными в [39].
Отметим, что эффективность управления (10) существенно зависит от той априорной информации, которую имеет исследователь операций, то есть от множества M,. Если в течение времени поступает новая более точная информация M2 сM, о том классе ОС, которому принадлежит моделируемая система, то, используя эту новую информацию, можно уточнить модель, то есть перейти от модели m (M,) к модели m (M2), что даст возможность повысить гарантированную эффективность управления: e(M2) ? e(M,) (см. рисунок 3).

Рис. 3. Повышение гарантированной эффективности управления с ростом информированности


Рис. 3. Повышение гарантированной эффективности управления с ростом информированности


<< | >>
Источник: Васильев Д.К., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А., Цветков А.В.. Типовые решения в управлении проектами. М.: ИПУ РАН (научное издание),2003. - 75 с.. 2003

Еще по теме 3. Обобщенные решения задач управления организационными системами:

  1. 4.2. Обобщенные решения задачи стимулирования
  2. 2. СИСТЕМА КЛАССИФИКАЦИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ ПРОЕКТАМИ
  3. 4. Обобщенные решения в управлении проектами: агрегирование информации
  4. 7.3. Автоматизированные системы управления долгами (АСУД): многофункциональность данных, интегрирование процессов, задачи, возможности, инструментарий, прогрессивные решения
  5. Задачи информационного менеджмента в управлении и формировании организационных структур ИС
  6. Модуль 3. Задачи информационного менеджмента в управлении и формировании организационных структур ИС
  7. 4.1. Арбитражное управление - элемент организационной структуры системы управления банкротством
  8. Глава 2. Анализ формирования делового кредо в системе организационной культуры и его внедрение в практику управления (на примере организационной культуры зарубежных компаний).
  9. Задачи системы управления производством.Функции системы управления.Структура системы управления на предприятии и ее развитие.«Положение» о подразделении предприятия. Структура «Положения».«Должностная инструкция». Структура инструкции.Оценка эффективности структуры управления.
  10. § 3. Методология автоматизированного решения задач стратегического управления, планирования и технического развития предприятий