Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной


В этой книге нас будет интересовать одна из функций переменной х, ее теоретическая дисперсия, являющаяся полезной мерой разброса для вероятност- ного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной х и ее средним, т.
е. величины (х — р)2, где р — математическое ожидание х. Дисперсия обычно обозначается как а2, и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен. Мы иногда будем обозначать дисперсию как pop. var (х):
о2х = pop.var(x) = ?{(х - р)2} =
П
= X (*/• - V)2Pi = (*i - и)2 Pi + • • • ¦+ (*„ - ц)2 Рп-              (0.9)
i=l
Из а2 можно получить ах — теоретическое стандартное отклонение — столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; стандартное отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.
Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку р = Е(х) = 3,5, то (х — р)2 в этом случае равно (х — 3,5)2. Мы рассчитаем математическое ожидание величины (х—3,5)2, используя схему, представленную в табл. 0.2. Дополнительный столбец (х — р) представляет определенный этап расчета (х — р)2. Суммируя последний столбец в табл. 0.4, получим значение дисперсии а2, равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение (а), равно yj2,92, то есть 1,71.

Таблица 0.4
х, Р, (*,- аlt;) (¦*¦,-А*)2 (х- и)2Р,
1 1/6 -2,5 6,25 1,042
2 1/6 -1,5 2,25 0,375
3 1/6 -0,5 0,25 0,042
4 1/6 0,5 0,25 0,042
5 1/6 1,5 2,25 0,375
6 1/6 2,5 6,25 1,042
Всего 2,92

Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как
о2= Е (х2) - р2.              (0.10)
Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение.
Доказательство дает хороший пример использования упомянутых правил, но при первом чтении вы можете, если хотите, его пропустить. По этому определению,
о2 = Е {(JC - ц)2} = Е {(х2 -2 цх + ц2) =
= Е (х2) + Е (~2цх) + Е (д2), согласно правилу I,
= Е (х2) — 2цЕ (х) + д2, согласно правилам 2 и 3
и тому факту, что —2ц и ц2 — константы,
= Е (х2) — 2ц2 + ц2,              поскольку величины Е (х)
и ц идентичны,
= Е (х2) — ц2.              (0.11)
Таким образом, если вы хотите вычислить теоретическую дисперсию для х, то можете рассчитать математическое ожидание величины х2 и вычесть из него р2.
Упражнение
0.6. Рассчитайте теоретическую дисперсию и стандартное отклонение величины х, определенной, как в упражнении 0.1, использовав определение, заданное уравнением (0.9).
0.7. Использовав уравнение (0.10), найдите дисперсию случайной переменной х, определенной в упражнении 0.1, и покажите, что результат получается тем же, что и в упражнении 0.6. (Это займет совсем немного времени, потому что вы уже рассчитали р в упражнении 0.2 и Е{х2) в упражнении 0.4.)
<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной:

  1. Дисперсия дискретной случайной величины
  2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной переменной
  3. Дискретная случайная переменная
  4. Постоянная и случайная составляющие случайной переменной
  5. Дискретные случайные величины
  6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
  7. Математическое ожидание дискретной случайной величины
  8. Числовые характеристики дискретных случайных величин
  9. Теоретическая дисперсия выборочного среднего
  10. Модели с дискретной зависимой переменной
  11. Доказательство того, что s2 — несмещенная оценка теоретической дисперсии
  12. ОБЗОР: СЛУЧАЙНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ТЕОРИЯ ВЫБОРОК
  13. Количественная оценка риска. Мера риска, степень риска.Случайные величины, распределения случайных величин.
  14. Выборочная дисперсия