Интерпретация уравнения регрессии


Существуют два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап состоит в словесном истолковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области статистики.
На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться этим или провести более детальное исследование зависимости.
Оба этапа чрезвычайно важны. Второй этап мы рассмотрим несколько позже, а пока обратим основное внимание на первый этап. Это будет проиллюстрировано моделью регрессии для функции спроса, т. е. регрессией между расходами потребителя на питание O') и располагаемым личным доходом (х) по данным, приведенным в табл. Б.1 для США за период с 1959 по 1983 г. Данные представлены в виде графика (рис. 2.7).
(2.41)
Предположим, что истинная модель описывается следующим выражением:
у = а + Рх + и,
(2.42)
и оценена регрессия
у = 55,3+ 0,093*.
Полученный результат можно истолковать следующим образом. Коэффициент при х (коэффициент наклона) показывает, что если х увеличивается на одну единицу, то у возрастает на 0,093 единицы. Как х, так и у измеряются в миллиардах долларов в постоянных ценах; таким образом, коэффициент наклона показывает, что если доход увеличивается на 1 млрд. долл., то расходы на питание возрастают на 93 млн. долл. Другими словами, из каждого дополнительного доллара дохода 9,3 цента будут израсходованы на питание.
Что можно сказать о постоянной в уравнении? Формально говоря, она показывает прогнозируемый уровень у, когда х = 0. Иногда это имеет ясный смысл, иногда нет. Еслих = 0 находится достаточно далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам; даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантии, что так же будет при экстраполяции влево или вправо.
Расходы на
Регрессионная зависимость расходов на питание от доходов (США, 1959-1983 гг.)
Рис. 2.7. Регрессионная зависимость расходов на питание от доходов
(США, 1959-1983 гг.)
В рассматриваемом случае экстраполяция к вертикальной оси приводит к выводу о том, что если доход был бы равен нулю, то расходы на питание составили бы 55,3 млрд. долл. Такое толкование может быть правдоподобным в отношении отдельного человека, так как он может израсходовать на питание накопленные или одолженные средства. Однако оно не имеет никакого смысла применительно к совокупности. В данном случае константа выполняет единственную функцию: она позволяет определить положение линии регрессии на графике. Пример постоянной, которая имеет ясный смысл, приведен в упражнении 2.1.
При интерпретации уравнения регрессии чрезвычайно важно помнить о трех вещах. Во-первых, а является лишь оценкой a, a b — оценкой р. Поэтому вся интерпретация в действительности представляет собой лишь оценку. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения.
В сущности, мы построили довольно наивную зависимость для функции спроса. Мы будем неоднократно возвращаться к этому в следующих разделах, уточняя как определение, так и статистические методы, используемые для оценки коэффициентов уравнения. В то же время читателю рекомендуется, начиная с упражнения 2.4, проводить параллельные эксперименты для определения функций спроса для других товаров, представленных в табл. Б.1.
После оценивания регрессии возникает следующий вопрос: существуют ли какие-либо средства определения точности оценок? Этот очень важный вопрос будет рассмотрен в следующем разделе. Мы же сначала рассмотрим более подробно роль остаточного члена и его влияние на опенки а и р.
Интерпретация линейного уравнения регрессии
Представим простой способ интерпретации коэффициентов линейного уравнения регрессии
9 = a + Ьх,
когда у их— переменные с простыми, естественными единицами измерения.
Во-первых, можно сказать, что увеличение х на одну единицу (в единицах измерения переменной х) приведет к увеличению значения у на Ь единиц (в единицах измерения переменной у). Вторым шагом является проверка, каковы действительно единицы измерения х и у, и замена слова «единица» фактическим количеством. Третьим шагом является проверка возможности более простого выражения результата, который может оказаться не вполне удобным. В примере, приведенном в данном разделе, в качестве единицы измерения для х и у использовались миллиарды долларов, что позволило произвести очевидные упрощения.
Постоянная а дает прогнозируемое значение у (в единицах у), если х = 0. Это может иметь или не иметь ясного смысла в зависимости от конкретной ситуации.
Упражнения[VIII]
  1. Регрессионная зависимость расходов на питание у (основанная на тех же данных, на которых уже строилась описанная в тексте функция спроса) от времени, определенного как / = 1 для 1959 г., / = 2 для 1960 г.
    и т.д., задана уравнением:

? = 95,3 + 2,53/.
Интерпретируйте результаты оценивания регрессии и сравните их с аналогичными результатами в случае с моделью регрессии для функции спроса, рассматриваемой в тексте. Обратите внимание, что в данном случае постоянная имеет простое толкование.
  1. Регрессионная зависимость расходов на оплату жилья от располагаемого личного дохода в соответствии с табл. Б.1, где обе величины измерены в миллиардах долларов за период с 1959 по 1983 г., может быть формализована в виде:

? = —27,6 + 0,178х.
Регрессионная зависимость расходов на оплату жилья от времени, определенная так же, как в упражнении 2.1, может быть представлена таким образом:
? = 48,9 + 4,84л
Дайте экономическое толкование этих регрессий. Они предполагают различные объяснения для одних и тех же данных по переменной у. В какой степени они могут быть согласованы?
  1. Постройте уравнение регрессии между р и е по данным из упражнения 1.3, сначала используя все 12 наблюдений, а затем исключив наблюдение для Японии, и дайте экономическую интерпретацию[IX].
  2. В табл. Б.1 приведены ежегодные данные о потребительских расходах и располагаемых личных доходах для США на период с 1959 по 1983 г. Выберите один товар — не продукты питания и не жилье, — обозначьте его как у и оцените регрессию между у их, где х — располагаемый личный доход, используя данные за 25 лет. Дайте интерпретацию коэффициентов регрессии[X].
  3. Оцените регрессии между характеристиками товара и временем, как это сделано в упражнении 2.1. Дайте соответствующую интерпретацию и сравните ее с интерпретацией регрессии, полученной в упражнении 2.4.
  4. Два человека строят временной тренд для одного и того же набора из 25 наблюдений переменной у, используя модель:

у = а + Pf + и,
где t — время (последовательно принимающее значения от 1 до 25), а и — случайный член. Первый получает уравнение:
? = 6,70+ 1,79/.
Второй по ошибке оценивает регрессию между t и у и приходит к такому уравнению:
t = -0,25 +0,44у.
Из этого уравнения он получает:
? = 0,57 + 2,27/.
Объясните наличие расхождения между данным уравнением и уравнением, полученным первым исследователем.
  1. Как изменился бы результат оценивания регрессии в упражнении 2.1, если бы в качестве t использовались фактические даты (1959—1983 гг.), а не числа от 1 до 25?
  2. Исследователь изучает зависимость между совокупным спросом на ус- луги (у) и совокупным располагаемым личным доходом (х) по данным для американской экономики (обе величины измерены в миллиардах долларов в постоянных ценах), используя ежегодные данные временных рядов и модель:

у = а + рх + и.
  1. Исследователь получает уравнение, проводя регрессионный анализ с помощью обычного метода наименьших квадратов. Предполагая, что обе величины у и х могут быть существенно занижены в системе национальных счетов из-за стремления людей уклониться от уплаты налогов, исследователь принимает два альтернативных метода уточнения заниженных оценок.
  2. Исследователь добавляет в каждом году 90 млрд. долл. к показателю у и 200 млрд. долл. к показателю х.
  3. Исследователь увеличивает значения как для х, так и для у на 10% за каждый год.

Оцените влияние корректировок (2) и (3) на результаты оценивания регрессии.
  1. Исследователь имеет ежегодные данные о временных рядах для совокупной заработной платы (W), совокупной прибыли (П), и совокупного дохода (У) для страны за период в п лет. По определению

Y= W+ П.
Используя обычный метод наименьших квадратов, получаем уравнение регрессии:
fr=a0 + aiY; ft = b0 + 6| Y.
Покажите, что коэффициенты регрессии будут автоматически удовлетворять следующим уравнениям:
а, + Ьх = 1; а0 + Ь0- 0.
Объясните на интуитивном уровне, почему это должно быть именно так.
  1. Исследователь считает, что в нестохастической части истинной модели у пропорционален х:

у = рх + и.
Выведите на основании исходных принципов формулу для Ь, оценки МНК для Ь. Покажите, что в этом случае (2.31) можно записать в следующем виде:
S = Xу} + Ь1 X х} - 2бХ х,у,-,
и что, следовательно,
6 = Хх/у,/Хх2.
  1. Выведите из исходных предпосылок оценку МНК для а в модели:

у = а + и.
Другими словами, у представляет собой просто сумму постоянной величины и случайного члена. Снова вначале определите S, а затем продифференцируйте.
<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Интерпретация уравнения регрессии:

  1. Интерпретация параметров уравнения регрессии
  2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  3. Интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  4. 2.5. Частные уравнения регрессии
  5. 2.4. Оценка параметров уравнения множественной регрессии
  6. 2.3. Выбор формы уравнения регрессии
  7. Расчет параметров уравнения множественной линейной регресси
  8. Расчет параметров уравнения линейной регрессии
  9. 1.2. Построение уравнения регрессии
  10. 4.4. Оценивание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках
  11. СПЕЦИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ РЕГРЕССИИ: ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ
  12. Экономический смысл параметров уравнения линейной парной регрессии
  13. 1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов, коэффициента детерминации
  14. Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений)
  15. В начале 70-х годов Ф.Блэк и М.Шоулз разработали модель оцен­ки премии европейского опциона колл на акции, по которым не вы­плачиваются дивиденды. Полученная формула явилась результатом решения ими дифференциального уравнения Блэка-Шоула. Данное уравнение мы рассматриваем в следующем параграфе.[56]
  16. Понятие регрессии