Доверительные интервалы


До сих пор мы предполагали, что гипотеза предшествует эмпирическим исследованиям. Однако это необязательно. Очень часто гипотеза и эксперимент взаимодействуют, в этом отношении типичным примером является регрессия расходов на питание.
Вначале мы оцениваем регрессию, потому что в соответствии с экономической теорией ожидаем, что размер дохода влияет на уровень расходов на питание. Результат оценивания регрессии подтвердил это интуитивное ожидание в том смысле, что мы отвергли нулевую гипотезу р = 0. Но после этого возникло ощущение некоторой пустоты, поскольку на основе этой гипотезы нельзя выдвинуть предположения о том, что значение р равняется некоторому конкретному числу. Теперь, однако, мы можем двинуться в противоположном направлении и задаться вопросом о том, какие гипотезы совместимы с результатом оценивания регрессии.
Вполне очевидно, что гипотеза о том, что р = 0,093, будет совместимой, так как гипотеза и результаты эксперимента совпадают. Кроме того, совместимыми будут и гипотезы о том, что р = 0,09229 и р = 0,09301, так как разница между гипотезой и результатом эксперимента будет небольшой. Вопрос состоит в том, насколько сильно гипотетическое значение может отличаться от результата эксперимента, прежде чем они станут несовместимыми и мы должны будем отклонить нулевую гипотезу.
Можно ответить на этот вопрос, используя предшествующие рассуждения. Из уравнения (3.44) видно, что коэффициент регрессии b и гипотетическое значение р будут несовместимыми, если выполняются условия:
Ь-р              Ь-р
с.              о .(b)gt;tKpum или с.о.(Ь)gt;~,крип’              (3'49)
т. е. если
  1. Р gt; c.0.(b)xtKpum              ИЛИ              b-$lt;-c.o.(b)xtKpum,              (3.50)

что соответствует
b-c.o.(b)xtKpum gt;Р              или              b + c.o.(b)xtKpum lt;р.              (3.51)
Отсюда следует, что гипотетическое значение р является совместимым с результатом оценивания регрессии, если одновременно выполнены условия:
Ь-с.о.(Ь)х
'крит lt; Р              И Р lt;
Ь + с. о.(6) X
^крипи              (3.52)
'крит lt; Р lt; + С- О. (.Ь)х
'крит-
т. е. если величина р удовлетворяет двойному неравенству:
Любое гипотетическое значение р, которое удовлетворяет соотношению (3.53), будет автоматически совместимо с оценкой Ъ, иными словами, не будет опровергаться ею.
Множество всех этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, известно как доверительный интервал для величины р.
Отметим, что посредине доверительного интервала лежит сама величина Ь. Границы интервала одинаково отстоят от Ь. Отметим также, что, так как значение tKpum зависит от выбора уровня значимости, границы будут также зависеть от этого выбора. Если принимается 5-процентный уровень значимости, то соответствующим доверительным интервалом считается 95-процентный интервал. Если выбирается однопроцентный уровень, то получают доверительный интервал в 99% и т.д.
Так как t т будет больше для однопроцентного уровня, чем для 5-процен- тного (при любом данном числе степеней свободы), то, следовательно, интервал в 99% будет шире интервала в 95%. Так как посредине обоих интервалов лежит величина Ь, то интервал в 99% включает все гипотетические значения 3 в 95-процентном доверительном интервале, а также дополнительные промежутки с той и другой стороны.
Пример
При оценивании регрессии между расходами на питание и доходом величина b составила 0,093, ее стандартная ошибка 0,003, a t т при 5-процентном уровне значимости 2,069. Отсюда соответствующий 95-процентный доверительный интервал составляет:
0,093 - 0,003 X 2,069 lt; 3 lt; 0,093 + 0,003 х 2,069,              (3.54)
иными словами,
0,087 lt; р lt; 0,099.              (3.55)
Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 0,099 и ниже 0,087. Любые гипотезы, не выходящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.
Упражнения
    1. Вычислите 99-процентный доверительный интервал для 3 в предыдущем упражнении и объясните, почему некоторые значения не были включены в 95-процентный доверительный интервал.
    2. Вычислите 95-процентный доверительный интервал для 3 в примере с зависимостью между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы. Какой вывод вы можете сделать из этого вычисления?
    3. Вычислите 95- и 99-процентные доверительные интервалы для коэффициента наклона в уравнении регрессии между расходами на коммунальные услуги и располагаемым личным доходом, представленной в упражнении 3.12.
    4. Вычислите 95- и 99-процентные доверительные интервалы для коэффициента наклона в регрессии, оцененной в упражнении 2.4.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Доверительные интервалы:

  1. 1.5. Расчет доверительных интервалов
  2. t-тесты и доверительные интервалы
  3. Доверительные интервалы для предсказаний
  4. Расчет доверительных интервалов прогноза
  5. Стандартные отклонения и Доверительные интервалы
  6. В интервале журнала
  7. 1.5. Выбор временных интервалов
  8. § За. Об особенностях расчетовна конечных временных интервалах
  9. Вторая интерпретация доверительного интервала
  10. 2.7.2. Объект и условия доверительного управления
  11. Отчет доверительного управляющего
  12. § 1. Понятие договора доверительного управления
  13. ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИМУЩЕСТВОМ
  14. § 3. Элементы обязательства доверительного управления
  15. 2.7.3. Бухгалтерский учет операций по доверительному управлению
  16. Б. Счета доверительного управления.
  17. § 2. Возникновение обязательства доверительного управления
  18. 28. Учет переданного в доверительное управление имущества
  19. Бухгалтерский учет операций по доверительному управлению